Determine se a função f é contínua no número a dado. Calcule f_'(a) e f+’(a), se existirem, e determine se f é derivável em a.
(a) a = 2 ; f(x) = { 3 - 2x se x < 2 ; 3x - 7 se x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . Depois, calcular as derivadas laterais e , se elas existirem, e por fim ver se a função é derivável nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Para , . Então,

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):
Para , . Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função em :
Como usa a expressão ,

Passo 6

Como os três valores são iguais:
Isso significa que a função é contínua em .

Passo 7

Agora vamos calcular as derivadas laterais. Primeiro, a derivada pela esquerda ( ).
Para , . A derivada dessa função é:
Então,

Passo 8

Agora, a derivada pela direita ( ).
Para , . A derivada dessa função é:
Então,

Passo 9

Finalmente, vamos verificar se a função é derivável em . Para isso, as derivadas laterais devem ser iguais:
Como , as derivadas laterais não são iguais. Portanto, a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em . As derivadas laterais são e . Como essas derivadas não são iguais, não é derivável em .

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