Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é contínua no ponto
. Depois, calcular as derivadas laterais
e
, se elas existirem, e por fim ver se a função é derivável nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função
em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda (
):
Para
,
. Então,
Passo 4
Calculando o limite pela direita (
):
Para
,
. Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função em
:
Como
usa a expressão
,
Passo 6
Como os três valores são iguais:
Isso significa que a função
é contínua em
.
Passo 7
Agora vamos calcular as derivadas laterais. Primeiro, a derivada pela esquerda (
).
Para
,
. A derivada dessa função é:
Então,
Passo 8
Agora, a derivada pela direita (
).
Para
,
. A derivada dessa função é:
Então,
Passo 9
Finalmente, vamos verificar se a função é derivável em
. Para isso, as derivadas laterais devem ser iguais:
Como
, as derivadas laterais não são iguais. Portanto, a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
. As derivadas laterais são
e
. Como essas derivadas não são iguais,
não é derivável em
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Encontre a derivada indicada.
(d)
(d)
Encontre a derivada indicada.
(g)
(g)
Seja
um número real tal que
. Qual o valor de
.