Suponha que
e
para todos os valores de
. Quão grande
pode ser?
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que
e a derivada de
, que é
, nunca é maior que 5 para qualquer valor de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o maior valor que
pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente relacionados a derivadas e ao comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A derivada
nos dá a taxa de variação da função
. Se
, isso quer dizer que, para qualquer ponto
, a inclinação da função não é maior que 5. Em outras palavras, a função não pode crescer mais rápido que uma reta com inclinação 5.
Passo 3
Agora, para encontrar o valor máximo de
, vamos supor que a função cresce com a maior taxa possível, ou seja, que
para todo
entre 0 e 2. Isso nos dará o valor máximo que
pode alcançar.
Passo 4
Vamos calcular a variação de
de
até
. Como
, a variação total é:
Passo 5
Calculando a integral:
Então,
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
O maior valor que
pode ter é 7.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Calcule as seguintes primitivas:
c. .
c.
Calcule as seguintes primitivas:
f. .
f.