Suponha que e para todos os valores de . Quão grande pode ser?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que e a derivada de , que é , nunca é maior que 5 para qualquer valor de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o maior valor que pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente relacionados a derivadas e ao comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A derivada nos dá a taxa de variação da função . Se , isso quer dizer que, para qualquer ponto , a inclinação da função não é maior que 5. Em outras palavras, a função não pode crescer mais rápido que uma reta com inclinação 5.

Passo 3

Agora, para encontrar o valor máximo de , vamos supor que a função cresce com a maior taxa possível, ou seja, que para todo entre 0 e 2. Isso nos dará o valor máximo que pode alcançar.

Passo 4

Vamos calcular a variação de de até . Como , a variação total é:

Passo 5

Calculando a integral:
Então,

Passo 6

Sabemos que . Substituindo na equação:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

O maior valor que pode ter é 7.

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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Calcule as seguintes primitivas:
c. .
Calcule as seguintes primitivas:
f. .