Calcule os seguintes produtos vetoriais: (i-j+k) times(2 i+j-k)

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o produto vetorial entre os vetores (i - j + k) e (2i + j - k). Esse exercício está ligado ao conteúdo de Produto Vetorial na matéria de álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores tridimensionais usando a regra do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores de forma mais clara:
A = i - j + k B = 2i + j - k

Passo 3

O produto vetorial A times B pode ser calculado usando o determinante de uma matriz, onde a primeira linha são os vetores unitários i, j, k, a segunda linha são as componentes de A e a terceira linha são as componentes de B:
A times B = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 1 & -1

Passo 4

Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro linha:
A times B = i cdot -1 & 1 1 & -1 - j cdot 1 & 1 2 & -1 + k cdot 1 & -1 2 & 1

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um desses determinantes 2x2:
  1. Para i:
-1 & 1 1 & -1 = (-1)(-1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0
  1. Para j:
1 & 1 2 & -1 = (1)(-1) - (1)(2) = -1 - 2 = -3
  1. Para k:
1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3

Passo 6

Substituindo os valores de volta na expressão original:
A times B = i cdot 0 - j cdot (-3) + k cdot 3
Simplificando:
A times B = 0i + 3j + 3k

Resposta

A times B = 3j + 3k

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