Resolva por escalonamento:
a) lx+2 y-z=4 2 x+3 y-z=1 5 x+8 y+z=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pelo método de escalonamento, que é uma forma de usar operações nas equações para chegar em uma forma mais simples e resolver para as incógnitas. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares usando escalonamento (ou eliminação de Gauss). Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e simplificar o sistema até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x + 2y - z = 4 2x + 3y - z = 1 5x + 8y + z = 6
Nosso objetivo é transformar esse sistema em uma forma onde seja fácil resolver uma das variáveis e, em seguida, substituir para encontrar as outras.

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável 2(x + 2y - z) = 2 cdot 4 Rightarrow 2x + 4y - 2z = 8 das equações 2 e 3 usando a equação 1. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2:
Multiplicando a equação 1 por 2:
(2x + 3y - z) - (2x + 4y - 2z) = 1 - 8 Rightarrow -y + z = -7
Agora, subtraímos essa nova equação da equação 2:
-y + z = -7
Vamos chamar essa nova equação de equação 4:

Passo 4

Agora, vamos eliminar 5(x + 2y - z) = 5 cdot 4 Rightarrow 5x + 10y - 5z = 20 da equação 3 usando a equação 1. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 5 e subtraímos da equação 3:
Multiplicando a equação 1 por 5:
(5x + 8y + z) - (5x + 10y - 5z) = 6 - 20 Rightarrow -2y + 6z = -14
Agora, subtraímos essa nova equação da equação 3:
-2y + 6z = -14
Simplificando, temos:
-y + 3z = -7
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
-y + 3z = -7
Vamos chamar essa equação de equação 5:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-y + z = -7 (Equação 4) -y + 3z = -7 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a equação 4 da equação 5 para eliminar (-y + 3z) - (-y + z) = -7 - (-7) Rightarrow 2z = 0 :
Então, .

Passo 6

Agora que sabemos que -y + 0 = -7 Rightarrow -y = -7 Rightarrow y = 7 , vamos substituir esse valor na equação 4 para encontrar :

Passo 7

Com os valores de x + 2(7) - 0 = 4 Rightarrow x + 14 = 4 Rightarrow x = 4 - 14 Rightarrow x = -10 e encontrados, vamos substituir esses valores na equação 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -10, y = 7, z = 0

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