Calcule os seguintes produtos vetoriais (2 imath+jmath-3 k) times(6 imath+2 jmath+k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto vetorial entre dois vetores: (2 imath + jmath - 3 k) e (6 imath + 2 jmath + k). Vamos usar o conteúdo de produto vetorial da matéria de Vetores. Para isso, precisamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores em três dimensões usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores A = a1 imath + a2 jmath + a3 k e B = b1 imath + b2 jmath + b3 k pode ser calculado usando o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é:
A times B = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Isso significa que vamos montar essa matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante para encontrar o produto vetorial.

Passo 3

Vamos agora identificar os componentes dos vetores dados:
Para o primeiro vetor (2 imath + jmath - 3 k), temos:
  • a1 = 2
  • a2 = 1
  • a3 = -3
Para o segundo vetor (6 imath + 2 jmath + k), temos:
  • b1 = 6
  • b2 = 2
  • b3 = 1

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz para calcular o determinante:
A times B = imath & jmath & k 2 & 1 & -3 6 & 2 & 1
Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores.

Passo 5

Aplicando a expansão por cofatores, temos:
A times B = imath cdot (1 cdot 1 - (-3) cdot 2) - jmath cdot (2 cdot 1 - (-3) cdot 6) + k cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 6)
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. Para imath:
1 cdot 1 - (-3) cdot 2 = 1 + 6 = 7
  1. Para jmath:
2 cdot 1 - (-3) cdot 6 = 2 + 18 = 20
  1. Para k:
2 cdot 2 - 1 cdot 6 = 4 - 6 = -2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
A times B = imath cdot 7 - jmath cdot 20 + k cdot (-2)
Simplificando, temos:
A times B = 7 imath - 20 jmath - 2 k

Resposta

O produto vetorial entre os vetores dados é:
A times B = 7 imath - 20 jmath - 2 k

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