Dados os pontos A=(0,0,0), B=(0,-1,6) e C=(0,1,6), se theta é o ângulo entre os vetores A B e A C, obtenha um valor aproximado, com duas casas decimais, para cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . Queremos encontrar o valor de , onde é o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como vetores, produto escalar e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os vetores AB = B - A = (0-0, -1-0, 6-0) = (0, -1, 6) e AC = C - A = (0-0, 1-0, 6-0) = (0, 1, 6) . Lembra que para achar o vetor que vai de um ponto para um ponto , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de .
Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
cos theta = AB cdot AC|AB| cdot |AC|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar AB cdot AC = a1 cdot b1 + a2 cdot b2 + a3 cdot b3 . A fórmula do produto escalar é:
AB cdot AC = (0)(0) + (-1)(1) + (6)(6) = 0 - 1 + 36 = 35
Aplicando aos nossos vetores:

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 e |AB| = raiz0^2 + (-1)^2 + 6^2 = raiz0 + 1 + 36 = raiz37 approx 6,08 . A fórmula da magnitude de um vetor |AC| = raiz0^2 + 1^2 + 6^2 = raiz0 + 1 + 36 = raiz37 approx 6,08 é:
Para :
Para :

Passo 6

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos usar a fórmula do cosseno:
cos theta = 356,08 times 6,08
Calculando o denominador:
6,08 times 6,08 approx 36,97
Então:
cos theta approx 3536,97 approx 0,945

Resposta

O valor aproximado de é 0,95.

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