Dados os pontos e , se é o ângulo entre os vetores e , obtenha um valor aproximado, com duas casas decimais, para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . Queremos encontrar o valor de , onde é o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como vetores, produto escalar e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os vetores e . Lembra que para achar o vetor que vai de um ponto para um ponto , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de .
Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o cosseno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar . A fórmula do produto escalar é:
Aplicando aos nossos vetores:

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e . A fórmula da magnitude de um vetor é:
Para :
Para :

Passo 6

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos usar a fórmula do cosseno:
Calculando o denominador:
Então:

Resposta

O valor aproximado de é 0,95.

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(b)
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