Demonstre que se são vetores e é um escalar, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente demonstrar que, se e são vetores e é um escalar, então:
O conteúdo envolvido aqui é álgebra vetorial, especificamente a multiplicação de vetores pelo escalar e o produto vetorial. Vamos precisar usar as propriedades do produto vetorial e como a multiplicação por escalar interage com ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar um vetor por um escalar simplesmente escala o vetor, ou seja, cada componente do vetor é multiplicada por . Por exemplo:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das propriedades do produto vetorial. Uma propriedade importante é que o produto vetorial é bilinear, o que significa que ele é linear em cada um de seus vetores. Especificamente:
Essa propriedade nos diz que podemos distribuir o escalar dentro do produto vetorial de três maneiras diferentes.
Passo 4
Vamos provar a primeira igualdade: .
Calculando o lado esquerdo:
Multiplicando por :
Calculando o lado direito:
Fazendo o produto vetorial:
Perceba que os dois lados são iguais, então:
Passo 5
De maneira similar, vamos provar a segunda igualdade: .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Fazendo o produto vetorial:
Novamente, vemos que os dois lados são iguais, então: