Demonstre que se a e b são vetores e x é um escalar, então x(a times b)=(x a) times b=a times(x b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente demonstrar que, se x(a times b) = (x a) times b = a times (x b) e são vetores e é um escalar, então:
O conteúdo envolvido aqui é álgebra vetorial, especificamente a multiplicação de vetores pelo escalar e o produto vetorial. Vamos precisar usar as propriedades do produto vetorial e como a multiplicação por escalar interage com ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar um vetor por um escalar x a = x (a1 i + a2 j + a3 k) = (x a1) i + (x a2) j + (x a3) k simplesmente escala o vetor, ou seja, cada componente do vetor é multiplicada por . Por exemplo:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das propriedades do produto vetorial. Uma propriedade importante é que o produto vetorial é bilinear, o que significa que ele é linear em cada um de seus vetores. Especificamente:
x(a times b) = (x a) times b = a times (x b)
Essa propriedade nos diz que podemos distribuir o escalar dentro do produto vetorial de três maneiras diferentes.

Passo 4

Vamos provar a primeira igualdade: x(a times b) = x ( (a2 b3 - a3 b2)i + (a3 b1 - a1 b3)j + (a1 b2 - a2 b1)k ) .
Calculando o lado esquerdo:
= (x(a2 b3 - a3 b2))i + (x(a3 b1 - a1 b3))j + (x(a1 b2 - a2 b1))k
Multiplicando por (x a) times b = (x a1 i + x a2 j + x a3 k) times (b1 i + b2 j + b3 k) :
= (x a2 b3 - x a3 b2)i + (x a3 b1 - x a1 b3)j + (x a1 b2 - x a2 b1)k
Calculando o lado direito:
x(a times b) = (x a) times b
Fazendo o produto vetorial:
Perceba que os dois lados são iguais, então:

Passo 5

De maneira similar, vamos provar a segunda igualdade: x(a times b) = (x(a2 b3 - a3 b2))i + (x(a3 b1 - a1 b3))j + (x(a1 b2 - a2 b1))k .
Calculando o lado esquerdo:
a times (x b) = (a1 i + a2 j + a3 k) times (x b1 i + x b2 j + x b3 k)
Calculando o lado direito:
= (a2 x b3 - a3 x b2)i + (a3 x b1 - a1 x b3)j + (a1 x b2 - a2 x b1)k
Fazendo o produto vetorial:
x(a times b) = a times (x b)
Novamente, vemos que os dois lados são iguais, então:

Resposta

Assim, demonstramos que:
x(a times b) = (x a) times b = a times (x b)

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