Calcule as seguintes raízes complexas: (-1)^(3/4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular as raízes complexas de (-1)^(3/4). Aqui, estamos lidando com números complexos e exponenciação. Para isso, vamos usar a teoria dos números complexos na forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número -1 na forma polar. Um número complexo na forma polar é representado como , onde é o módulo e r é o argumento.

Passo 3

No caso de -1, o módulo r é 1 (já que ) e o argumento theta é pi radianos (ou 180 graus), porque -1 está localizado no ponto no plano complexo.
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a exponenciação com exponente 3/4. Usaremos a fórmula de De Moivre, que nos permite calcular potências e raízes de números complexos na forma polar. A fórmula é:
No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
Como , simplificamos para:

Passo 6

Agora, precisamos considerar todas as raízes, já que estamos lidando com uma raiz de ordem 4. Isso significa que há 4 soluções igualmente espaçadas no círculo unitário. A fórmula geral para as raízes é:

Passo 7

Calculando para cada valor de k:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As raízes complexas de (-1)^(3/4) são:

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