Calcule as seguintes raízes complexas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de calcular as raízes complexas de
. Aqui, estamos lidando com números complexos e exponenciação. Para isso, vamos usar a teoria dos números complexos na forma polar e a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número
na forma polar. Um número complexo na forma polar é representado como , onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
No caso de
, o módulo
é
(já que
) e o argumento
é
radianos (ou 180 graus), porque
está localizado no ponto
no plano complexo.
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a exponenciação com exponente
. Usaremos a fórmula de De Moivre, que nos permite calcular potências e raízes de números complexos na forma polar. A fórmula é:
No nosso caso,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 6
Agora, precisamos considerar todas as raízes, já que estamos lidando com uma raiz de ordem 4. Isso significa que há 4 soluções igualmente espaçadas no círculo unitário. A fórmula geral para as raízes é:
Passo 7
Calculando para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As raízes complexas de
são: