(a) Descreva geometricamente o conjunto
do números complexos
que satisfazem à condição
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para descrever geometricamente o conjunto
dos números complexos
que satisfazem a condição
. Aqui, estamos trabalhando com a geometria dos números complexos, especificamente analisando distâncias no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de módulo de um número complexo e propriedades geométricas relacionadas a círculos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Assim, a condição
se traduz em:
Passo 3
Para simplificar essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para remover as raízes quadradas:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 5
Distribuindo o 4 no lado direito da equação:
Passo 6
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação para simplificar:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 7
Podemos multiplicar a equação inteira por -1 para facilitar a manipulação:
Passo 8
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em
. Primeiro, isolemos os termos de
:
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 9
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
no lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Passo 10
Agora, temos a equação de um círculo no plano complexo:
Isso significa que o conjunto
é o conjunto de todos os pontos
que estão a uma distância de
unidades do ponto
.
Resposta
O conjunto
é um círculo no plano complexo com centro no ponto
e raio
.