(a) Descreva geometricamente o conjunto S do números complexos z que satisfazem à condição |z-1| = 2|z+1|.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para descrever geometricamente o conjunto dos números complexos que satisfazem a condição . Aqui, estamos trabalhando com a geometria dos números complexos, especificamente analisando distâncias no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de módulo de um número complexo e propriedades geométricas relacionadas a círculos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. Assim, a condição se traduz em:

Passo 3

Para simplificar essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para remover as raízes quadradas:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:

Passo 5

Distribuindo o 4 no lado direito da equação:

Passo 6

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação para simplificar:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 7

Podemos multiplicar a equação inteira por -1 para facilitar a manipulação:

Passo 8

Agora, vamos completar o quadrado para os termos em . Primeiro, isolemos os termos de :
Dividindo ambos os lados por 3:

Passo 9

Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos no lado esquerdo:
Isso simplifica para:

Passo 10

Agora, temos a equação de um círculo no plano complexo:
Isso significa que o conjunto é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância de unidades do ponto .

Resposta

O conjunto é um círculo no plano complexo com centro no ponto e raio .

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