Verifique que as raízes quadradas de
são:
e
.
Dica: chame
e resolva:
, determinando
e
.
Dica: chame
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar as raízes quadradas de um número complexo, que no caso é
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra de números complexos. Precisamos encontrar um número complexo
tal que quando o quadrarmos, obtenha
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que queremos encontrar matematicamente:
Passo 3
Vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a regra do binômio:
Passo 4
Simplificando cada termo:
-
continua . -
. -
(porque ).
Então, a expansão fica:
Passo 5
Agora, igualamos a parte real e a parte imaginária dos dois lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da segunda equação, resolvemos para
:
Passo 7
Substituímos
na primeira equação:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por
para eliminar o denominador:
Passo 9
Rearranjamos a equação:
Passo 10
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então a equação fica:
Passo 11
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 12
Obtendo as soluções para
:
Como
e
não pode ser negativo, descartamos
e ficamos com
:
Passo 13
Agora, encontramos
usando
:
- Se
, então - Se
, então
Passo 14
Assim, as soluções para
são:
Resposta
As raízes quadradas de
são
e
.