Verifique que as raízes quadradas de -15 - 8i são: -1 + 4 i e 1 - 4 i.
Dica: chame z = x + i y e resolva: (x + i y)^2 = -15 - 8 i, determinando x e y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar as raízes quadradas de um número complexo, que no caso é . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra de números complexos. Precisamos encontrar um número complexo tal que quando o quadrarmos, obtenha .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos encontrar matematicamente:

Passo 3

Vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a regra do binômio:

Passo 4

Simplificando cada termo:
  • continua .
  • .
  • (porque ).
Então, a expansão fica:

Passo 5

Agora, igualamos a parte real e a parte imaginária dos dois lados da equação:
á

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da segunda equação, resolvemos para y:

Passo 7

Substituímos na primeira equação:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por para eliminar o denominador:

Passo 9

Rearranjamos a equação:

Passo 10

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então a equação fica:

Passo 11

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 12

Obtendo as soluções para u:
Como e não pode ser negativo, descartamos e ficamos com :

Passo 13

Agora, encontramos y usando :
  1. Se x = 1, então
  2. Se , então

Passo 14

Assim, as soluções para são:

Resposta

As raízes quadradas de são e .

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