Simplifique |exp(2z+i)| e |exp(i z^2)| e mostre que |exp(2 z + i) + exp(i z^2)| <= e^(2 x) + e^(-2xy), onde z = x + i y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para simplificar duas expressões envolvendo exponenciais de números complexos e, depois, mostrar que a soma dos módulos dessas exponenciais é menor ou igual a uma certa expressão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, módulo de números complexos e propriedades das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que , onde e são números reais. Então, substituindo :

Passo 3

A exponencial de um número complexo pode ser escrita como . O módulo de é . Como o módulo de um produto é o produto dos módulos e (porque está sobre o círculo unitário), temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Primeiro, precisamos calcular :
Então,

Passo 5

Agora, a exponencial de é:
Para encontrar o módulo disso, usamos novamente que :

Passo 6

Agora que temos os módulos das duas exponenciais, podemos somá-los:

Passo 7

Por fim, queremos mostrar que:
Para isso, usamos a desigualdade triangular, que afirma que para quaisquer números complexos e :
Aplicando isso às nossas exponenciais:

Resposta

Assim, mostramos que , onde .

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