Simplifique e e mostre que |exp(2 z + i) + exp(i z^2)| <= e^(2 x) +e^(-2xy), onde z = x + i y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para simplificar duas expressões envolvendo exponenciais de números complexos e, depois, mostrar que a soma dos módulos dessas exponenciais é menor ou igual a uma certa expressão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, módulo de números complexos e propriedades das exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que , onde e são números reais. Então, substituindo :
Passo 3
A exponencial de um número complexo pode ser escrita como . O módulo de é . Como o módulo de um produto é o produto dos módulos e (porque está sobre o círculo unitário), temos: