Calcule as seguintes raízes complexas: raiz(3, 8i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as raízes cúbicas de um número complexo, que nesse caso é . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e suas representações, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre. Vamos precisar entender como converter um número complexo da forma retangular (com parte real e imaginária) para a forma polar (usando módulo e argumento).

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma polar. Um número complexo na forma retangular é , e na forma polar é , onde:
  • é o módulo de , calculado por .
  • é o argumento de , que é o ângulo formado com o eixo real positivo.
No nosso caso, e , então:
(já que o número está alinhado com o eixo imaginário positivo)
Então, em forma polar é:

Passo 3

Agora, para encontrar as raízes cúbicas de , vamos usar a fórmula das raízes -ésimas de um número complexo na forma polar, que é:
onde .
Aqui, , e . Vamos calcular para .

Passo 4

Calculando para cada valor de :
  1. Para :
Então, a primeira raiz é:
  1. Para :
Então, a segunda raiz é:
  1. Para :
Então, a terceira raiz é:

Resposta

As raízes cúbicas de são:

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