Calcule as seguintes raízes complexas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as raízes cúbicas de um número complexo, que nesse caso é
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e suas representações, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre. Vamos precisar entender como converter um número complexo da forma retangular (com parte real e imaginária) para a forma polar (usando módulo e argumento).
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma polar. Um número complexo na forma retangular é
, e na forma polar é
, onde:
-
é o módulo de , calculado por . -
é o argumento de , que é o ângulo formado com o eixo real positivo.
No nosso caso,
e
, então:
Então,
em forma polar é:
Passo 3
Agora, para encontrar as raízes cúbicas de
, vamos usar a fórmula das raízes
-ésimas de um número complexo na forma polar, que é:
onde
.
Aqui,
,
e
. Vamos calcular para
.
Passo 4
Calculando para cada valor de
:
- Para
:
Então, a primeira raiz é:
- Para
:
Então, a segunda raiz é:
- Para
:
Então, a terceira raiz é:
Resposta
As raízes cúbicas de
são: