m s'' + gamma s' + k s = 0, s(0) = s0, s'(0) = v0
Suponha que gamma^2 < 4 km.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Escreva a solução na forma s(t) = R * exp(-gamma * t / (2 * m)) * cos(mu * t - delta). Determine R em função de m, gamma, k, s0 e u0.
© Investigue a dependência de R no coeficiente de amortecimento gamma para valores fixos dos outros parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou trata de uma equação diferencial que modela o movimento de um sistema massa-mola-amortecedor. Basicamente, estamos lidando com Movimento Harmônico Amortecido, que é um conceito da Mecânica. Para resolver isso, vamos precisar das equações diferenciais, condições iniciais e entender um pouquinho sobre amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é a posição em função do tempo,
  • e são as primeiras e segundas derivadas de em relação ao tempo, ou seja, a velocidade e a aceleração.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral dessa equação que satisfaz as condições iniciais dadas: e .

Passo 3

Vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos na equação diferencial:
Podemos dividir por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática.

Passo 4

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Dado que , o discriminante é negativo, o que significa que teremos raízes complexas. Isso indica um movimento oscilatório amortecido.

Passo 5

Como as raízes são complexas, podemos escrevê-las na forma:
Onde:
A solução geral da equação diferencial é então:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, :
Então, .

Passo 7

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando e :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:
Essa é a solução do problema de valor inicial.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Onde .

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