Suponha que
.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Escreva a solução na forma
. Determine
em função de
,
e
.
© Investigue a dependência de
no coeficiente de amortecimento
para valores fixos dos outros parâmetros.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Escreva a solução na forma
© Investigue a dependência de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou trata de uma equação diferencial que modela o movimento de um sistema massa-mola-amortecedor. Basicamente, estamos lidando com Movimento Harmônico Amortecido, que é um conceito da Mecânica. Para resolver isso, vamos precisar das equações diferenciais, condições iniciais e entender um pouquinho sobre amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é a posição em função do tempo, -
e são as primeiras e segundas derivadas de em relação ao tempo, ou seja, a velocidade e a aceleração.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral dessa equação que satisfaz as condições iniciais dadas:
e
.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
na equação diferencial:
Podemos dividir por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática.
Passo 4
Resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Dado que
, o discriminante
é negativo, o que significa que teremos raízes complexas. Isso indica um movimento oscilatório amortecido.
Passo 5
Como as raízes são complexas, podemos escrevê-las na forma:
Onde:
A solução geral da equação diferencial é então:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro,
:
Então,
.
Passo 7
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
e
:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Essa é a solução do problema de valor inicial.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Onde
.