em que
e
é pequeno em módulo mas pode ter qualquer sinal. A mola é dita (a) Mostre que o deslocamento
da massa a partir de sua posição de equilíbrio satisfaz a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a força exercida pela mola é
. Aqui,
é a constante da mola e
é um parâmetro pequeno que pode ser positivo ou negativo. Nosso objetivo é mostrar que o deslocamento
da massa em relação à posição de equilíbrio satisfaz uma certa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força total
sobre um objeto é igual à massa
multiplicada pela aceleração
do objeto:
Como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo, temos:
Passo 3
No nosso caso, a força total
é a força exercida pela mola, que já foi dada:
Então, substituindo na segunda lei de Newton:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para deixar tudo do lado esquerdo:
Passo 5
Para simplificar, podemos dividir toda a equação por
:
Passo 6
Vamos definir
para simplificar a notação. Isso nos dá:
Passo 7
Então, a equação diferencial que descreve o deslocamento
da massa a partir da posição de equilíbrio é:
Resposta
A equação diferencial que o deslocamento
satisfaz é: