F_m = -(k s + epsilon s^3)
em que k > 0 e epsilon é pequeno em módulo mas pode ter qualquer sinal. A mola é dita (a) Mostre que o deslocamento s(t) da massa a partir de sua posição de equilíbrio satisfaz a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a força exercida pela mola é . Aqui, é a constante da mola e é um parâmetro pequeno que pode ser positivo ou negativo. Nosso objetivo é mostrar que o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio satisfaz uma certa equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força total sobre um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração do objeto:
Como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo, temos:

Passo 3

No nosso caso, a força total é a força exercida pela mola, que já foi dada:
Então, substituindo na segunda lei de Newton:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para deixar tudo do lado esquerdo:

Passo 5

Para simplificar, podemos dividir toda a equação por :

Passo 6

Vamos definir para simplificar a notação. Isso nos dá:

Passo 7

Então, a equação diferencial que descreve o deslocamento da massa a partir da posição de equilíbrio é:

Resposta

A equação diferencial que o deslocamento satisfaz é:

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