Prove que z é real ou imaginário puro se z^2 = (z bar)^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um número complexo que, ao ser elevado ao quadrado, dá o mesmo resultado que o quadrado do seu conjugado . Nosso objetivo é provar que é um número real (ou seja, sem parte imaginária) ou um número imaginário puro (sem parte real).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é um número complexo. Ele pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Segundo o enunciado, . Então, igualando as duas expressões:

Passo 5

Vamos subtrair de ambos os lados da equação:
Somando em ambos os lados:

Passo 6

A equação implica que o produto . Isso quer dizer que pelo menos um dos fatores deve ser zero.

Passo 7

Portanto, ou ou :
  • Se , então , que é um número imaginário puro.
  • Se , então , que é um número real.

Resposta

Concluímos que, se , então é um número real ou um número imaginário puro.

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