Prove que
é real ou imaginário puro se
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um número complexo
que, ao ser elevado ao quadrado, dá o mesmo resultado que o quadrado do seu conjugado
. Nosso objetivo é provar que
é um número real (ou seja, sem parte imaginária) ou um número imaginário puro (sem parte real).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é um número complexo. Ele pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Segundo o enunciado,
. Então, igualando as duas expressões:
Passo 5
Vamos subtrair
de ambos os lados da equação:
Somando
em ambos os lados:
Passo 6
A equação
implica que o produto
. Isso quer dizer que pelo menos um dos fatores deve ser zero.
Passo 7
Portanto, ou
ou
:
- Se
, então , que é um número imaginário puro. - Se
, então , que é um número real.
Resposta
Concluímos que, se
, então
é um número real ou um número imaginário puro.