Calcule as seguintes raízes complexas:
Passo 1
Vamos calcular as raízes complexas de quarta ordem de
. Para isso, vamos usar os conceitos de números complexos, representação polar e a fórmula de De Moivre. Precisaremos entender como converter um número complexo da forma algébrica para a forma polar e depois aplicar a radiciação no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma polar. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde:
-
é o módulo de , calculado por . -
é o argumento de , que é o ângulo formado com o eixo real.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
:
Passo 4
Agora, determinamos o argumento
:
Como o número está no segundo quadrante (porque a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva), acrescentamos
ao valor encontrado:
Passo 5
Então, a forma polar do número ��:
Passo 6
Para encontrar as raízes de quarta ordem, usamos a fórmula de De Moivre. As raízes de
de ordem
são dadas por:
Neste caso,
,
, e
.
Passo 7
Calculamos
e aplicamos a fórmula para cada valor de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As quatro raízes complexas de quarta ordem de
são: