Calcule as seguintes raízes complexas: raiz(4)(-1 + i * raiz(3))

Passo 1

Vamos calcular as raízes complexas de quarta ordem de . Para isso, vamos usar os conceitos de números complexos, representação polar e a fórmula de De Moivre. Precisaremos entender como converter um número complexo da forma algébrica para a forma polar e depois aplicar a radiciação no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma polar. Um número complexo pode ser escrito como , onde:
  • é o módulo de , calculado por .
  • é o argumento de , que é o ângulo formado com o eixo real.

Passo 3

Vamos calcular o módulo :

Passo 4

Agora, determinamos o argumento :
Como o número está no segundo quadrante (porque a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva), acrescentamos ao valor encontrado:

Passo 5

Então, a forma polar do número ��:

Passo 6

Para encontrar as raízes de quarta ordem, usamos a fórmula de De Moivre. As raízes de de ordem são dadas por:
Neste caso, , , e .

Passo 7

Calculamos e aplicamos a fórmula para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

As quatro raízes complexas de quarta ordem de são:

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