Resolva a equação z^2 + (2i - 3)z + 5 - i = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação quadrática que envolve números complexos: . Aqui, estamos lidando com uma equação de segundo grau onde os coeficientes são números complexos. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma ferramenta fundamental para encontrar as raízes de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação quadrática, que tem a forma geral :
  • (o coeficiente de )
  • (o coeficiente de )
  • (o termo constante)

Passo 3

A próxima etapa é aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:
Essa fórmula nos dá duas soluções, uma com o sinal de mais e outra com o de menos.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante :
Primeiro, vamos calcular :
Sabemos que , então:
Agora, calculamos :
Então, o discriminante é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a raiz quadrada do discriminante . Para encontrar a raiz quadrada de um número complexo, representamos e resolvemos para e .
Vamos resolver:
Explicando, desenvolvemos o lado esquerdo:
Igualando as partes reais e imaginárias:
Da segunda equação, temos . Podemos resolver o sistema para encontrar e .
Resolvendo, encontramos:
Portanto, .

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas soluções:

Resposta

As soluções da equação são e .

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