É verdade que raiz3(z^2) = (raiz3(z))^2 para todo z em C ? Dica considere z = -i.

Passo 1

Vamos analisar se a igualdade é válida para todo número complexo z. Para isso, vamos precisar entender como calcular raízes cúbicas de números complexos e verificar se a igualdade se mantém verdadeira em todos os casos. Vamos seguir passo a passo usando o exemplo sugerido, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular com .
Calculando z^2:
Agora, calculamos a raiz cúbica de -1:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular com .
Primeiro, calculamos :
Para encontrar a raiz cúbica de um número complexo, podemos representá-lo na forma polar. Sabemos que pode ser representado como:
Então,
Agora, elevamos ao quadrado:

Passo 4

Comparando os resultados obtidos:
Neste caso específico, os dois lados da igualdade são iguais.

Passo 5

No entanto, precisamos verificar se isso ocorre para todo número complexo z. Vamos considerar outro exemplo para testar a validade geral da igualdade.
Se tomarmos , temos:
E:
Aqui, também a igualdade se mantém.
No entanto, complexos podem ter múltiplas raízes. Por exemplo, para , além da raiz real 1, existem duas raízes complexas:
Elevando essas raízes ao quadrado, obtemos diferentes resultados, o que mostra que a igualdade não se mantém para todas as raízes.

Resposta

Não, a igualdade não é válida para todo número complexo z em C.

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