É verdade que
para todo
? Dica considere
.
Passo 1
Vamos analisar se a igualdade
é válida para todo número complexo
. Para isso, vamos precisar entender como calcular raízes cúbicas de números complexos e verificar se a igualdade se mantém verdadeira em todos os casos. Vamos seguir passo a passo usando o exemplo sugerido,
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
com
.
Calculando
:
Agora, calculamos a raiz cúbica de
:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular
com
.
Primeiro, calculamos
:
Para encontrar a raiz cúbica de um número complexo, podemos representá-lo na forma polar. Sabemos que
pode ser representado como:
Então,
Agora, elevamos ao quadrado:
Passo 4
Comparando os resultados obtidos:
Neste caso específico, os dois lados da igualdade são iguais.
Passo 5
No entanto, precisamos verificar se isso ocorre para todo número complexo
. Vamos considerar outro exemplo para testar a validade geral da igualdade.
Se tomarmos
, temos:
E:
Aqui, também a igualdade se mantém.
No entanto, complexos podem ter múltiplas raízes. Por exemplo, para
, além da raiz real
, existem duas raízes complexas:
Elevando essas raízes ao quadrado, obtemos diferentes resultados, o que mostra que a igualdade não se mantém para todas as raízes.
Resposta
Não, a igualdade
não é válida para todo número complexo
.