Determine todos os números complexos z tais que: exp(2z-1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os números complexos que satisfazem a equação . Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e funções exponenciais. Precisamos entender como a função exponencial funciona no mundo dos números complexos para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que quando é igual a , onde é qualquer número inteiro. Isso ocorre porque a função exponencial de um número complexo é dada por . Para que isso seja igual a 1, precisamos que e com , o que acontece quando e .

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação , temos que deve ser igual a . Então, podemos escrever:
onde é um número inteiro qualquer.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . A gente isola dividindo ambos os lados da equação por 2 e adicionando em ambos os lados:
Então, cada valor de nos dá um número complexo que satisfaz a equação original.

Resposta

Todos os números complexos que satisfazem a equação são da forma , onde é um número inteiro qualquer.

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