Determine todos os números complexos
tais que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os números complexos
que satisfazem a equação
. Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e funções exponenciais. Precisamos entender como a função exponencial funciona no mundo dos números complexos para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
quando
é igual a
, onde
é qualquer número inteiro. Isso ocorre porque a função exponencial de um número complexo
é dada por
. Para que isso seja igual a 1, precisamos que
e
com
, o que acontece quando
e
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação
, temos que
deve ser igual a
. Então, podemos escrever:
onde
é um número inteiro qualquer.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. A gente isola
dividindo ambos os lados da equação por 2 e adicionando
em ambos os lados:
Então, cada valor de
nos dá um número complexo
que satisfaz a equação original.
Resposta
Todos os números complexos que satisfazem a equação são da forma
, onde
é um número inteiro qualquer.