Mostre que:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que
. Esse problema é da área de números complexos e exponenciais complexas. Vamos precisar usar a fórmula de Euler, que relaciona exponenciais com funções trigonométricas, e também entender como trabalhar com números complexos na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o expoente
em duas partes: a parte real e a parte imaginária. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos expoentes, podemos separar a exponencial:
Aqui,
é a parte real e
é a parte complexa.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- Parte real:
Isso porque
é igual à
, que é a raiz quadrada de
.
- Parte imaginária:
Para
, usamos a fórmula de Euler:
Então,
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar
como
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que: