Mostre que: exp((2 + pi * i) / 4) = raiz(e) * (1 + i) / raiz(2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que . Esse problema é da área de números complexos e exponenciais complexas. Vamos precisar usar a fórmula de Euler, que relaciona exponenciais com funções trigonométricas, e também entender como trabalhar com números complexos na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o expoente em duas partes: a parte real e a parte imaginária. Isso fica assim:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos expoentes, podemos separar a exponencial:
Aqui, é a parte real e é a parte complexa.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Parte real:
Isso porque é igual à , que é a raiz quadrada de .
  1. Parte imaginária:
Para , usamos a fórmula de Euler:
Então,
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar como , então:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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