Encontre a solução do problema de condução de calor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor que você me passou. A gente está trabalhando com a equação de calor, que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo e do espaço em um material. As informações que temos são:
  • Difusividade térmica
  • Comprimento do material
  • Condições de contorno: e
  • Condição inicial:
Vamos precisar usar a equação da condução de calor e aplicar algumas técnicas de solução para encontrar a função que descreve a temperatura em qualquer ponto e tempo .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação de condução de calor para um caso unidimensional:
Com , nossa equação fica:
Essa equação nos diz como a temperatura muda no tempo e no espaço .

Passo 3

Vamos buscar uma solução estacionária , que não depende do tempo, e uma solução transitória que decai com o tempo. Assim, a solução geral será:
Primeiro, encontramos resolvendo:
Integrando duas vezes, obtemos:

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno para determinar e :
Então, a solução estacionária é:

Passo 5

Agora, encontramos a solução transitória resolvendo a equação homogênea:
Com as condições de contorno:
E condição inicial:

Passo 6

Usamos a separação de variáveis para resolver a equação transitória. Assumimos que:
Substituindo na equação, obtemos:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Onde é uma constante de separação.

Passo 7

Resolvemos as equações separadas:
Para :
Com condições de contorno , as soluções não triviais existem para:
E as funções próprias:

Passo 8

Para :
Assim, a solução transitória geral é uma soma de modos:

Passo 9

Determina os coeficientes usando a condição inicial:
Calculamos usando a série de Fourier:
Esse cálculo envolve integrar funções seno multiplicadas por polinômios, o que pode ser feito por partes.

Passo 10

Finalmente, a solução completa é:
Onde os são os coeficientes determinados anteriormente.

Resposta

A solução do problema de condução de calor é:
Onde os coeficientes são calculados pela série de Fourier:

Exercícios relacionados

Ache usando diferenciação implícita:
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .
Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
Mostre que para todo vale que: .