Encontre a solução do problema de condução de calor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor que você me passou. A gente está trabalhando com a equação de calor, que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo e do espaço em um material. As informações que temos são:
- Difusividade térmica
- Comprimento do material
- Condições de contorno:
e - Condição inicial:
Vamos precisar usar a equação da condução de calor e aplicar algumas técnicas de solução para encontrar a função
que descreve a temperatura em qualquer ponto
e tempo
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de condução de calor para um caso unidimensional:
Com
, nossa equação fica:
Essa equação nos diz como a temperatura
muda no tempo
e no espaço
.
Passo 3
Vamos buscar uma solução estacionária
, que não depende do tempo, e uma solução transitória
que decai com o tempo. Assim, a solução geral será:
Primeiro, encontramos
resolvendo:
Integrando duas vezes, obtemos:
Passo 4
Aplicamos as condições de contorno para determinar
e
:
Então, a solução estacionária é:
Passo 5
Agora, encontramos a solução transitória
resolvendo a equação homogênea:
Com as condições de contorno:
E condição inicial:
Passo 6
Usamos a separação de variáveis para resolver a equação transitória. Assumimos que:
Substituindo na equação, obtemos:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Onde
é uma constante de separação.
Passo 7
Resolvemos as equações separadas:
Para :
Para
Com condições de contorno
, as soluções não triviais existem para:
E as funções próprias:
Passo 8
Para
:
Assim, a solução transitória geral é uma soma de modos:
Passo 9
Determina os coeficientes
usando a condição inicial:
Calculamos
usando a série de Fourier:
Esse cálculo envolve integrar funções seno multiplicadas por polinômios, o que pode ser feito por partes.
Passo 10
Finalmente, a solução completa é:
Onde os
são os coeficientes determinados anteriormente.
Resposta
A solução do problema de condução de calor é:
Onde os coeficientes
são calculados pela série de Fourier:
Exercícios relacionados
Ache
usando diferenciação implícita:
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
Mostre que para todo
vale que:
.