Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o vetor em termos de , e . Esse problema está relacionado ao produto vetorial, que é uma operação da Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre vetores e como expandir expressões envolvendo multiplos produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto vetorial. Dado dois vetores e , o produto vetorial é calculado usando o determinante da seguinte matriz:
Isso resulta em:
a times b = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k
Passo 3
Vamos aplicar isso para calcular u times v. Sejam u = ux i + uy j + uz k e v = vx i + vy j + vz k, então:
u times v = (uy vz - uz vy)i - (ux vz - uz vx)j + (ux vy - uy vx)k
Vamos chamar esse resultado de A:
A = (uy vz - uz vy)i - (ux vz - uz vx)j + (ux vy - uy vx)k
Passo 4
Agora, precisamos calcular o produto vetorial de A com w = wx i + wy j + wz k. Usando a mesma fórmula do determinante:
A times w = i & j & k Ax & Ay & Az wx & wy & wz
Onde Ax = uy vz - uz vy, Ay = -(ux vz - uz vx) e Az = ux vy - uy vx.
Passo 5
Calculando o determinante:
A times w = (Ay wz - Az wy)i - (Ax wz - Az wx)j + (Ax wy - Ay wx)k
Substituindo os valores de Ax, Ay e Az:
A times w = ( [-(ux vz - uz vx)] wz - [ux vy - uy vx] wy )i
- ( [uy vz - uz vy] wz - [ux vy - uy vx] wx )j
+ ( [uy vz - uz vy] wy - [-(ux vz - uz vx)] wx )k
Passo 6
Agora, vamos simplificar cada componente:
Para i:
-(ux vz - uz vx) wz - (ux vy - uy vx) wy
Factorando sinais:
- ux vz wz + uz vx wz - ux vy wy + uy vx wy
Para j:
- [ (uy vz - uz vy) wz - (ux vy - uy vx) wx ]
Distribuindo o sinal negativo:
- uy vz wz + uz vy wz + ux vy wx - uy vx wx
Para k:
(uy vz - uz vy) wy + (ux vz - uz vx) wx
Expandindo:
uy vz wy - uz vy wy + ux vz wx - uz vx wx
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, temos:
(u times v) times w = ( - ux vz wz + uz vx wz - ux vy wy + uy vx wy )i
+ ( - uy vz wz + uz vy wz + ux vy wx - uy vx wx )j
+ ( uy vz wy - uz vy wy + ux vz wx - uz vx wx )k
Resposta
Portanto, o vetor (u times v) times w em termos de i, j e k é:
(u times v) times w = ( - ux vz wz + uz vx wz - ux vy wy + uy vx wy )i
+ ( - uy vz wz + uz vy wz + ux vy wx - uy vx wx )j