Considere bolas numeradas de 1 até e colocadas em duas urnas e . Suponha que no estágio , a urna contenha bolas. Uma bola dentre as bolas é escolhida de forma aleatória (esta bola pode estar na urna ou ). Após isso, a urna é escolhida com probabilidade e a urna com probabilidade . A bola selecionada é colocada na urna escolhida, e o número de bolas na urna passa a ser agora . Mostre que é uma CMH e dê sua matriz de transição.
Passo 1
Nesse exercício, temos duas urnas, A e B, com um total de bolas numeradas de 1 a . No estágio , a urna A contém bolas. Uma bola é escolhida aleatoriamente e, com probabilidade , é colocada na urna A ou com probabilidade , na urna B. O objetivo é mostrar que a sequência forma uma Cadeia de Markov (CMH) e determinar sua matriz de transição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Cadeia de Markov e como construir sua matriz de transição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Cadeia de Markov é um processo estocástico onde o próximo estado depende apenas do estado atual, não dos anteriores. Neste caso, queremos mostrar que depende somente de .
Passo 3
Vamos analisar as possíveis mudanças em para obter . Existem duas situações principais quando uma bola é escolhida:
A bola está na urna A: A probabilidade de escolher uma bola da urna A é . Depois disso:
Com probabilidade , a bola volta para a urna A, mantendo .
Com probabilidade , a bola vai para a urna B, o que diminui o número de bolas na urna A para .
A bola está na urna B: A probabilidade de escolher uma bola da urna B é . Depois disso:
Com probabilidade , a bola vai para a urna A, aumentando o número de bolas na urna A para .
Com probabilidade , a bola permanece na urna B, mantendo .
Passo 4
Com base nas situações acima, podemos determinar as probabilidades de transição de para :
Aumenta em 1 ():
Permanece o mesmo ():
Diminui em 1 ():
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz de transição usando as probabilidades encontradas. Cada elemento da matriz representa a probabilidade de transição do estado para o estado .
Para um estado (número de bolas na urna A):
Os demais elementos da matriz serão zero, já que só pode ser , ou .
Resposta
A sequência forma uma Cadeia de Markov e sua matriz de transição é dada por:
onde, para cada estado (número de bolas na urna A):