Considere N bolas numeradas de 1 até N e colocadas em duas urnas A e B. Suponha que no estágio n, a urna A contenha Xn bolas. Uma bola dentre as N bolas é escolhida de forma aleatória (esta bola pode estar na urna A ou B ). Após isso, a urna A é escolhida com probabilidade p e a urna B com probabilidade 1-p. A bola selecionada é colocada na urna escolhida, e o número de bolas na urna A passa a ser agora Xn+1. Mostre que Xnn >= 0 é uma CMH e dê sua matriz de transição.

Passo 1

Nesse exercício, temos duas urnas, A e B, com um total de N bolas numeradas de 1 a N. No estágio n, a urna A contém Xn bolas. Uma bola é escolhida aleatoriamente e, com probabilidade p, é colocada na urna A ou com probabilidade 1-p, na urna B. O objetivo é mostrar que a sequência Xn forma uma Cadeia de Markov (CMH) e determinar sua matriz de transição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Cadeia de Markov e como construir sua matriz de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Cadeia de Markov é um processo estocástico onde o próximo estado depende apenas do estado atual, não dos anteriores. Neste caso, queremos mostrar que Xn+1 depende somente de Xn.

Passo 3

Vamos analisar as possíveis mudanças em Xn para obter Xn+1. Existem duas situações principais quando uma bola é escolhida:
  1. A bola está na urna A: A probabilidade de escolher uma bola da urna A é XnN. Depois disso:
    • Com probabilidade p, a bola volta para a urna A, mantendo Xn+1 = Xn.
    • Com probabilidade 1-p, a bola vai para a urna B, o que diminui o número de bolas na urna A para Xn+1 = Xn - 1.
  2. A bola está na urna B: A probabilidade de escolher uma bola da urna B é N - XnN. Depois disso:
    • Com probabilidade p, a bola vai para a urna A, aumentando o número de bolas na urna A para Xn+1 = Xn + 1.
    • Com probabilidade 1-p, a bola permanece na urna B, mantendo Xn+1 = Xn.

Passo 4

Com base nas situações acima, podemos determinar as probabilidades de transição de Xn para Xn+1:
  • Aumenta em 1 ( Xn+1 = Xn + 1):
    P(Xn to Xn + 1) = N - XnN cdot p
  • Permanece o mesmo ( Xn+1 = Xn):
    P(Xn to Xn) = XnN cdot p + N - XnN cdot (1 - p)
  • Diminui em 1 ( Xn+1 = Xn - 1):
    P(Xn to Xn - 1) = XnN cdot (1 - p)

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz de transição P usando as probabilidades encontradas. Cada elemento Pi,j da matriz representa a probabilidade de transição do estado i para o estado j.
Para um estado i (número de bolas na urna A):
Pi,i+1 = N - iN cdot p
Pi,i = iN cdot p + N - iN cdot (1 - p)
Pi,i-1 = iN cdot (1 - p)
Os demais elementos da matriz serão zero, já que Xn+1 só pode ser Xn -1, Xn ou Xn +1.

Resposta

A sequência Xn forma uma Cadeia de Markov e sua matriz de transição P é dada por:
P = p0,0 & p0,1 & cdots & p0,N p1,0 & p1,1 & cdots & p1,N vdots & vdots & ddots & vdots pN,0 & pN,1 & cdots & pN,N
onde, para cada estado i (número de bolas na urna A):
pi,i+1 = N - iN cdot p
pi,i = iN cdot p + N - iN cdot (1 - p)
pi,i-1 = iN cdot (1 - p)
Todos os demais elementos da matriz são zero.

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