Considere bolas numeradas de 1 até e colocadas em duas urnas e . Suponha que no estágio , a urna contenha bolas. Uma bola dentre as bolas é escolhida de forma aleatória (esta bola pode estar na urna ou ). Após isso, a urna é escolhida com probabilidade e a urna com probabilidade . A bola selecionada é colocada na urna escolhida, e o número de bolas na urna passa a ser agora . Mostre que é uma CMH e dê sua matriz de transição.

Passo 1

Nesse exercício, temos duas urnas, A e B, com um total de bolas numeradas de 1 a . No estágio , a urna A contém bolas. Uma bola é escolhida aleatoriamente e, com probabilidade , é colocada na urna A ou com probabilidade , na urna B. O objetivo é mostrar que a sequência forma uma Cadeia de Markov (CMH) e determinar sua matriz de transição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Cadeia de Markov e como construir sua matriz de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Cadeia de Markov é um processo estocástico onde o próximo estado depende apenas do estado atual, não dos anteriores. Neste caso, queremos mostrar que depende somente de .

Passo 3

Vamos analisar as possíveis mudanças em para obter . Existem duas situações principais quando uma bola é escolhida:
  1. A bola está na urna A: A probabilidade de escolher uma bola da urna A é . Depois disso:
    • Com probabilidade , a bola volta para a urna A, mantendo .
    • Com probabilidade , a bola vai para a urna B, o que diminui o número de bolas na urna A para .
  2. A bola está na urna B: A probabilidade de escolher uma bola da urna B é . Depois disso:
    • Com probabilidade , a bola vai para a urna A, aumentando o número de bolas na urna A para .
    • Com probabilidade , a bola permanece na urna B, mantendo .

Passo 4

Com base nas situações acima, podemos determinar as probabilidades de transição de para :
  • Aumenta em 1 ( ):
  • Permanece o mesmo ( ):
  • Diminui em 1 ( ):

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz de transição usando as probabilidades encontradas. Cada elemento da matriz representa a probabilidade de transição do estado para o estado .
Para um estado (número de bolas na urna A):
Os demais elementos da matriz serão zero, já que só pode ser , ou .

Resposta

A sequência forma uma Cadeia de Markov e sua matriz de transição é dada por:
onde, para cada estado (número de bolas na urna A):
Todos os demais elementos da matriz são zero.

Exercícios relacionados

Seja uma CMTD com espaço de estados , vetor de probabilidade inicial e matriz de transição:
Verifique que
Considere as retas e
As retas são reversas ou concorrentes.
Calcule os seguintes vetores em termos de e :
© .
Uma moeda justa é arremessada várias vezes com resultados com valores 0 ou 1 com probabilidade para cada. Para , seja . O processos estocástico é uma CMH?