Seja uma CMTD com espaço de estados , vetor de probabilidade inicial e matriz de transição:
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre Cadeias de Markov de tempo discreto (CMTD). Temos um conjunto de estados , um vetor de probabilidade inicial e uma matriz de transição . O que precisamos fazer é calcular a probabilidade de estarmos no estado 1 no tempo 1 e também no estado 1 no tempo 2, dado que começamos no estado 0 no tempo 0. Para isso, vamos usar as propriedades das CMTD e as regras de probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz de transição :
Cada entrada representa a probabilidade de transitar do estado para o estado em um passo de tempo.
Passo 3
Queremos encontrar . Isso significa que queremos a probabilidade de estar no estado 1 no tempo 1 e no tempo 2, dado que começamos no estado 0 no tempo 0.
Passo 4
Vamos usar a propriedade das CMTD que nos diz que o futuro é independente do passado, dado o presente. Portanto, podemos decompor a probabilidade conjunta da seguinte maneira:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Primeiro, . Olhando para a matriz de transição , a probabilidade de ir do estado 0 para o estado 1 é .
Passo 6
Segundo, . Novamente, olhando para a matriz de transição , a probabilidade de permanecer no estado 1 é .
Passo 7
Agora, multiplicamos essas duas probabilidades para encontrar a probabilidade conjunta: