Seja uma CMTD com espaço de estados , vetor de probabilidade inicial e matriz de transição:
Verifique que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre Cadeias de Markov de tempo discreto (CMTD). Temos um conjunto de estados , um vetor de probabilidade inicial e uma matriz de transição . O que precisamos fazer é calcular a probabilidade de estarmos no estado 1 no tempo 1 e também no estado 1 no tempo 2, dado que começamos no estado 0 no tempo 0. Para isso, vamos usar as propriedades das CMTD e as regras de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz de transição :
Cada entrada representa a probabilidade de transitar do estado para o estado em um passo de tempo.

Passo 3

Queremos encontrar . Isso significa que queremos a probabilidade de estar no estado 1 no tempo 1 e no tempo 2, dado que começamos no estado 0 no tempo 0.

Passo 4

Vamos usar a propriedade das CMTD que nos diz que o futuro é independente do passado, dado o presente. Portanto, podemos decompor a probabilidade conjunta da seguinte maneira:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Primeiro, . Olhando para a matriz de transição , a probabilidade de ir do estado 0 para o estado 1 é .

Passo 6

Segundo, . Novamente, olhando para a matriz de transição , a probabilidade de permanecer no estado 1 é .

Passo 7

Agora, multiplicamos essas duas probabilidades para encontrar a probabilidade conjunta:

Resposta

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Considere bolas numeradas de 1 até e colocadas em duas urnas e . Suponha que no estágio , a urna contenha bolas. Uma bola dentre as bolas é escolhida de forma aleatória (esta bola pode estar na urna ou ). Após isso, a urna é escolhida com probabilidade e a urna com probabilidade . A bola selecionada é colocada na urna escolhida, e o número de bolas na urna passa a ser agora . Mostre que é uma CMH e dê sua matriz de transição.
Calcule os seguintes vetores em termos de e :
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