Seja Xnn >= 0 uma CMTD com espaço de estados E=0,1,2, vetor de probabilidade inicial v(0)=(1 / 4,1 / 2,1 / 4) e matriz de transição:
P=(ccc 1 / 4 & 3 / 4 & 0 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 0 & 1 / 4 & 3 / 4 )
Verifique que P(X1=1, X2=1 mid X0=0)=1 / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre Cadeias de Markov de tempo discreto (CMTD). Temos um conjunto de estados , um vetor de probabilidade inicial e uma matriz de transição . O que precisamos fazer é calcular a probabilidade de estarmos no estado 1 no tempo 1 e também no estado 1 no tempo 2, dado que começamos no estado 0 no tempo 0. Para isso, vamos usar as propriedades das CMTD e as regras de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz de transição P = 14 & 34 & 0 13 & 13 & 13 0 & 14 & 34 :
Cada entrada representa a probabilidade de transitar do estado para o estado em um passo de tempo.

Passo 3

Queremos encontrar . Isso significa que queremos a probabilidade de estar no estado 1 no tempo 1 e no tempo 2, dado que começamos no estado 0 no tempo 0.

Passo 4

Vamos usar a propriedade das CMTD que nos diz que o futuro é independente do passado, dado o presente. Portanto, podemos decompor a probabilidade conjunta da seguinte maneira:
P(X1 = 1, X2 = 1 mid X0 = 0) = P(X1 = 1 mid X0 = 0) times P(X2 = 1 mid X1 = 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Primeiro, P(X1 = 1 mid X0 = 0) = 34 . Olhando para a matriz de transição , a probabilidade de ir do estado 0 para o estado 1 é .

Passo 6

Segundo, P(X2 = 1 mid X1 = 1) = 13 . Novamente, olhando para a matriz de transição , a probabilidade de permanecer no estado 1 é .

Passo 7

Agora, multiplicamos essas duas probabilidades para encontrar a probabilidade conjunta:
P(X1 = 1, X2 = 1 mid X0 = 0) = 34 times 13 = 14

Resposta

P(X1=1, X2=1 mid X0=0) = 14

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