Uma moeda justa é arremessada várias vezes com resultados Y0, Y1, Y2, Y3, ldots com valores 0 ou 1 com probabilidade 1 / 2 para cada. Para n >= 1, seja Xn=Yn+Yn-1. O processos estocástico Xnn >= 0 é uma CMH?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda justa várias vezes, onde cada resultado é representado por Y0, Y1, Y2, Y3, ldots, que podem ser 0 ou 1, cada um com probabilidade de 12. Para cada n >= 1, definimos Xn = Yn + Yn-1. A pergunta é: esse processo estocástico Xnn >= 0 é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH)? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Cadeia de Markov Homogênea e verificar se o processo Xn atende a essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Cadeia de Markov. Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico onde o próximo estado depende apenas do estado atual e não dos estados anteriores. Ou seja, a memória é “curta”, só olha para o presente.
Matematicamente, dizemos que Xn é uma Cadeia de Markov se, para todo n >= 0 e para todos os estados possíveis x0, x1, ldots, xn+1,
P(Xn+1 = xn+1 mid Xn = xn, Xn-1 = xn-1, ldots, X0 = x0) = P(Xn+1 = xn+1 mid Xn = xn)
Além disso, para ser homogênea, as probabilidades de transição não mudam com o tempo n.

Passo 3

Agora, vamos analisar o nosso processo Xn onde Xn = Yn + Yn-1. Sabemos que cada Yn é independente e tem probabilidade 12 de ser 0 ou 1.
Vamos tentar ver se Xn satisfaz a propriedade de Markov. Ou seja, se P(Xn+1 mid Xn, Xn-1, ldots, X0) = P(Xn+1 mid Xn).
Para isso, precisamos entender como Xn+1 está relacionado com os estados anteriores.
Sabemos que:
Xn+1 = Yn+1 + Yn
E já temos que:
Xn = Yn + Yn-1
Então, para determinar Xn+1, precisamos de Yn e Yn+1. Porém, Yn já está envolvido em Xn.
Isso sugere que para saber Xn+1, além de Xn, precisamos conhecer Yn, que não é totalmente capturado apenas por Xn.

Passo 4

Como precisamos de Yn para determinar Xn+1 a partir de Xn, isso indica que Xn+1 não depende apenas de Xn, mas também de informações anteriores (especificamente, de Yn). Portanto, o próximo estado Xn+1 não é determinado unicamente pelo estado atual Xn, violando a propriedade de Markov.

Resposta

Não, o processo estocástico Xnn >= 0 não é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH).

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