Uma moeda justa é arremessada várias vezes com resultados com valores 0 ou 1 com probabilidade para cada. Para , seja . O processos estocástico é uma CMH?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda justa várias vezes, onde cada resultado é representado por , que podem ser 0 ou 1, cada um com probabilidade de . Para cada , definimos . A pergunta é: esse processo estocástico é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH)? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Cadeia de Markov Homogênea e verificar se o processo atende a essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Cadeia de Markov. Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico onde o próximo estado depende apenas do estado atual e não dos estados anteriores. Ou seja, a memória é “curta”, só olha para o presente.
Matematicamente, dizemos que é uma Cadeia de Markov se, para todo e para todos os estados possíveis ,
Além disso, para ser homogênea, as probabilidades de transição não mudam com o tempo .

Passo 3

Agora, vamos analisar o nosso processo onde . Sabemos que cada é independente e tem probabilidade de ser 0 ou 1.
Vamos tentar ver se satisfaz a propriedade de Markov. Ou seja, se .
Para isso, precisamos entender como está relacionado com os estados anteriores.
Sabemos que:
E já temos que:
Então, para determinar , precisamos de e . Porém, já está envolvido em .
Isso sugere que para saber , além de , precisamos conhecer , que não é totalmente capturado apenas por .

Passo 4

Como precisamos de para determinar a partir de , isso indica que não depende apenas de , mas também de informações anteriores (especificamente, de ). Portanto, o próximo estado não é determinado unicamente pelo estado atual , violando a propriedade de Markov.

Resposta

Não, o processo estocástico não é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH).

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes vetores em termos de e :
© .
Considere bolas numeradas de 1 até e colocadas em duas urnas e . Suponha que no estágio , a urna contenha bolas. Uma bola dentre as bolas é escolhida de forma aleatória (esta bola pode estar na urna ou ). Após isso, a urna é escolhida com probabilidade e a urna com probabilidade . A bola selecionada é colocada na urna escolhida, e o número de bolas na urna passa a ser agora . Mostre que é uma CMH e dê sua matriz de transição.
(UFC) O valor do número complexo e:
a) 1
Seja uma CMTD com espaço de estados , vetor de probabilidade inicial e matriz de transição:
Calcule