Uma moeda justa é arremessada várias vezes com resultados
com valores 0 ou 1 com probabilidade
para cada. Para
, seja
. O processos estocástico
é uma CMH?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda justa várias vezes, onde cada resultado é representado por
, que podem ser 0 ou 1, cada um com probabilidade de
. Para cada
, definimos
. A pergunta é: esse processo estocástico
é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH)? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Cadeia de Markov Homogênea e verificar se o processo
atende a essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Cadeia de Markov. Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico onde o próximo estado depende apenas do estado atual e não dos estados anteriores. Ou seja, a memória é “curta”, só olha para o presente.
Matematicamente, dizemos que
é uma Cadeia de Markov se, para todo
e para todos os estados possíveis
,
Além disso, para ser homogênea, as probabilidades de transição não mudam com o tempo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o nosso processo
onde
. Sabemos que cada
é independente e tem probabilidade
de ser 0 ou 1.
Vamos tentar ver se
satisfaz a propriedade de Markov. Ou seja, se
.
Para isso, precisamos entender como
está relacionado com os estados anteriores.
Sabemos que:
E já temos que:
Então, para determinar
, precisamos de
e
. Porém,
já está envolvido em
.
Isso sugere que para saber
, além de
, precisamos conhecer
, que não é totalmente capturado apenas por
.
Passo 4
Como precisamos de
para determinar
a partir de
, isso indica que
não depende apenas de
, mas também de informações anteriores (especificamente, de
). Portanto, o próximo estado
não é determinado unicamente pelo estado atual
, violando a propriedade de Markov.
Resposta
Não, o processo estocástico
não é uma Cadeia de Markov Homogênea (CMH).