Calcule as seguntes integrais duplas:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral dupla
sobre a região
definida por
e
.
O que vamos precisar:
- Entender como configurar uma integral dupla.
- Saber os limites de integração para
e . - Conhecer como integrar funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
onde vamos integrar. Temos:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a .
Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
começa em
e vai até
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
Aqui, primeiro integramos em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é a integral de
em relação a
:
Para integrar isso, tratamos
como constante e integramos termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é (já que é constante). - A integral de
em relação a é .
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de
:
Primeiro, substituímos
por
:
Depois, substituímos
por
:
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:
Passo 6
Vamos simplificar cada parte:
Para
:
Simplificando:
Totalizando:
Para
:
Passo 7
Agora, subtraímos os dois resultados:
Então, a integral interna simplificada é:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Integramos termo a termo:
- A integral de
é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então, a antiderivada é:
Passo 9
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para
:
Calculando:
Para
:
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente 10.8333.
Exercícios relacionados
Determinar a função derivada da seguinte função:
Considere a função
.
Determine o(s) valor(es) tais que
.
Determine o(s) valor(es)
Demonstrar que se
, então