Calcule as seguntes integrais duplas:

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral dupla sobre a região definida por e .
O que vamos precisar:
  • Entender como configurar uma integral dupla.
  • Saber os limites de integração para e .
  • Conhecer como integrar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
Aqui, primeiro integramos em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é a integral de em relação a :
Para integrar isso, tratamos como constante e integramos termo a termo:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é (já que é constante).
  • A integral de em relação a é .
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de :
Primeiro, substituímos por :
Depois, substituímos por :
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
Para :
Simplificando:
Totalizando:
Para :

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
Então, a integral interna simplificada é:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Integramos termo a termo:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, a antiderivada é:

Passo 9

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para :
Calculando:
Para :

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente 10.8333.

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Determinar a função derivada da seguinte função:
Considere a função .
Determine o(s) valor(es) tais que .
Demonstrar que se , então