Calcule as seguntes integrais duplas: integral dupla(1+x+3 y) d x d y, R ; & 0 <= x <= 1 & 2 x <= y <= 3 x+1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral dupla sobre a região definida por e .
O que vamos precisar:
  • Entender como configurar uma integral dupla.
  • Saber os limites de integração para e .
  • Conhecer como integrar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. Temos:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
integralx=0^1 integraly=2x^3x + 1 (1 + x + 3y) , dy , dx
Aqui, primeiro integramos em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é a integral de integraly=2x^3x + 1 (1 + x + 3y) , dy em relação a [ y + xy + 32y^2 ]2x^3x + 1 :
Para integrar isso, tratamos como constante e integramos termo a termo:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é (já que é constante).
  • A integral de em relação a é .
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa expressão nos limites de (3x + 1) + x(3x + 1) + 32(3x + 1)^2 :
Primeiro, substituímos (2x) + x(2x) + 32(2x)^2 por [(3x + 1) + x(3x + 1) + 32(3x + 1)^2] - [(2x) + x(2x) + 32(2x)^2] :
Depois, substituímos por :
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
Para 3x + 1 + 3x^2 + x + 32(9x^2 + 6x + 1) = 3x + 1 + 3x^2 + x + 27x^2 + 18x + 32 :
4x + 1 + 3x^2 + 27x^22 + 18x2 + 32 = 4x + 1 + 3x^2 + 13.5x^2 + 9x + 1.5
Simplificando:
(4x + 9x) + (3x^2 + 13.5x^2) + (1 + 1.5) = 13x + 16.5x^2 + 2.5
Totalizando:
2x + 2x^2 + 32(4x^2) = 2x + 2x^2 + 6x^2 = 2x + 8x^2
Para :

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
(13x + 16.5x^2 + 2.5) - (2x + 8x^2) = 13x - 2x + 16.5x^2 - 8x^2 + 2.5 = 11x + 8.5x^2 + 2.5
Então, a integral interna simplificada é:
11x + 8.5x^2 + 2.5

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 (11x + 8.5x^2 + 2.5) , dx de 0 a 1:
112x^2 + 8.53x^3 + 2.5x
Integramos termo a termo:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, a antiderivada é:

Passo 9

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para 112(1)^2 + 8.53(1)^3 + 2.5(1) = 112 + 8.53 + 2.5 :
5.5 + 2.8333 + 2.5 = 10.8333
Calculando:
112(0)^2 + 8.53(0)^3 + 2.5(0) = 0 + 0 + 0 = 0
Para :

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente 10.8333.

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