Determinar a função derivada da seguinte função:
f(x) = ln(arcsen(3 x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função . Isso envolve trabalhar com funções logarítmicas e a função arco seno, então vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos identificar as funções compostas nessa expressão. Temos a função logaritmo natural onde . Dentro disso, temos outra função composta: onde . Portanto, vamos derivar passo a passo usando a Regra da Cadeia.

Passo 3

Primeiro, derivamos a função externa, que é o logaritmo natural. A derivada de em relação a é . Então, temos:
Mas , então a derivada parcial fica:

Passo 4

Agora, precisamos multiplicar pela derivada da função interna . A derivada de em relação a é . Então:
Como , a derivada parcial fica:

Passo 5

Por fim, multiplicamos pela derivada de em relação a , que é simplesmente 3.

Resposta

Juntando tudo, a derivada de é:

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