Demonstrar que se f(x) = arcsen(x), então f'(x) = 1 / raiz(1 - x^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que se , então . Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da derivada e a relação entre a função seno e sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que . Nosso objetivo é encontrar , ou seja, a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é 1. Assim, temos:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 5

Precisamos expressar em termos de . Sabemos que . Como , substituímos:

Passo 6

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
(Note que consideramos apenas a raiz positiva, já que retorna valores de onde é positivo.)

Passo 7

Substituímos na expressão de :

Resposta

Portanto, demonstramos que se , então .

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