Demonstrar que se
, então
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que se
, então
. Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da derivada e a relação entre a função seno e sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que
. Nosso objetivo é encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é 1. Assim, temos:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
. Como
, substituímos:
Passo 6
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
(Note que consideramos apenas a raiz positiva, já que
retorna valores de
onde
é positivo.)
Passo 7
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
Portanto, demonstramos que se
, então
.