Calcule os sequintes limites, caso existam. d) lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y+ ^3(y^2+x^2)^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Este exercício pertence ao conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde 0^4 + 3x^2 cdot 0^2 + 2 cdot 0 + x^3(0^2 + x^2)^2 = x^3x^4 = 1x . Substituindo limx to 0 1x na função, temos:
Ao calcular o limite quando tende a 0:
Esse limite tende ao infinito, pois cresce sem limites conforme se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caminho onde y^4 + 3 cdot 0^2 cdot y^2 + 2y + 0^3(y^2 + 0^2)^2 = y^4 + 2yy^4 = 1 + 2y^3 . Substituindo limy to 0 (1 + 2y^3) na função, temos:
Calculando o limite quando tende a 0:
Este limite também tende ao infinito, pois cresce sem limites conforme se aproxima de 0.

Passo 4

Para confirmar que o limite não existe, vamos considerar mais um caminho, por exemplo, x^4 + 3x^2 cdot x^2 + 2x + x^3(x^2 + x^2)^2 = x^4 + 3x^4 + x^3 + 2x(2x^2)^2 = 4x^4 + x^3 + 2x4x^4 = 1 + x^-14 + 12x^3 . Substituindo limx to 0 (1 + 14x + 12x^3) na função:
Ao calcular o limite quando tende a 0:
Este limite também tende ao infinito.

Resposta

Como o limite tende ao infinito por diferentes caminhos, concluímos que o limite não existe.

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