Calcule os sequintes limites, caso existam. g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite. O enunciado pede para calcular o limite de uma função que envolve duas variáveis, e , quando ambas se aproximam de zero pelo lado positivo. Isso está dentro do estudo de limites multivariáveis em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e aplicar técnicas de simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos fatorar do denominador para facilitar a simplificação:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 4

Agora, vamos considerar o limite quando e tendem a zero. Para isso, podemos analisar o comportamento da expressão simplificada:
Quando e se aproximam de zero, também tende a zero, então tende a 1. Além disso, pode variar dependendo de como e se aproximam de zero.

Passo 5

Para garantir que o limite exista e seja o mesmo independentemente do caminho pelo qual e se aproximam de zero, vamos considerar diferentes relações entre e .
Por exemplo, suponha que . Substituindo na expressão:
Quando tende a zero, isso se torna .
Agora, suponha que para algum . Substituindo:
Dependendo do valor de , a expressão tende a zero.

Passo 6

Como em todos os caminhos considerados o limite tende a zero, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

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