Calcule os sequintes limites, caso existam. g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite. O enunciado pede para calcular o limite de uma função que envolve duas variáveis,
e
, quando ambas se aproximam de zero pelo lado positivo. Isso está dentro do estudo de limites multivariáveis em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e aplicar técnicas de simplificação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos fatorar
do denominador para facilitar a simplificação:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 4
Agora, vamos considerar o limite quando
e
tendem a zero. Para isso, podemos analisar o comportamento da expressão simplificada:
Quando
e
se aproximam de zero,
também tende a zero, então
tende a 1. Além disso,
pode variar dependendo de como
e
se aproximam de zero.
Passo 5
Para garantir que o limite exista e seja o mesmo independentemente do caminho pelo qual
e
se aproximam de zero, vamos considerar diferentes relações entre
e
.
Por exemplo, suponha que
. Substituindo na expressão:
Quando
tende a zero, isso se torna
.
Agora, suponha que
para algum
. Substituindo:
Dependendo do valor de
, a expressão tende a zero.
Passo 6
Como em todos os caminhos considerados o limite tende a zero, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.