Calcule os sequintes limites, caso existam. g) lim substackx 0^+ y 0^+ raizx y^2+y^3 x y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite. O enunciado pede para calcular o limite de uma função que envolve duas variáveis, e , quando ambas se aproximam de zero pelo lado positivo. Isso está dentro do estudo de limites multivariáveis em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e aplicar técnicas de simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz:
x y^2 + y^3 x y^3x^2 + y^2
Vamos simplificar o numerador:
x y^2 + y^3 x y^3 = x y^2 + x y^6 = x y^2 (1 + y^4)
Então, a expressão fica:
x y^2 (1 + y^4)x^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos fatorar x^2 + y^2 = y^2 ( x^2y^2 + 1 ) do denominador para facilitar a simplificação:
x y^2 (1 + y^4)y^2 ( x^2y^2 + 1 ) = x (1 + y^4)x^2y^2 + 1
Substituindo de volta na expressão:

Passo 4

Agora, vamos considerar o limite quando x (1 + y^4)x^2y^2 + 1 e tendem a zero. Para isso, podemos analisar o comportamento da expressão simplificada:
Quando e se aproximam de zero, também tende a zero, então tende a 1. Além disso, pode variar dependendo de como e se aproximam de zero.

Passo 5

Para garantir que o limite exista e seja o mesmo independentemente do caminho pelo qual y (1 + y^4)y^2y^2 + 1 = y (1 + y^4)1 + 1 = y (1 + y^4)2 e y^k (1 + y^4)y^2ky^2 + 1 = y^k (1 + y^4)y^2k - 2 + 1 se aproximam de zero, vamos considerar diferentes relações entre e .
Por exemplo, suponha que . Substituindo na expressão:
Quando tende a zero, isso se torna .
Agora, suponha que para algum . Substituindo:
Dependendo do valor de , a expressão tende a zero.

Passo 6

Como em todos os caminhos considerados o limite tende a zero, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

lim substackx 0^+ y 0^+ raizx y^2+y^3 x y^3x^2+y^2 = 0

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