Calcule os sequintes limites
lim x infty(raiz9 x^2+x-3 x);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite que a gente precisa calcular:
lim x infty(raiz9 x^2+x-3 x)
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de forma que possamos simplificar e identificar o comportamento dela conforme fica cada vez maior.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro do limite. Uma técnica útil nesse caso é racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar a raiz. A expressão conjugada de raiz9x^2 + x - 3x = (raiz9x^2 + x - 3x) cdot raiz9x^2 + x + 3xraiz9x^2 + x + 3x é .
Então, multiplicamos e dividimos pela conjugada:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o numerador:
(raiz9x^2 + x - 3x)(raiz9x^2 + x + 3x) = (raiz9x^2 + x)^2 - (3x)^2 = 9x^2 + x - 9x^2 = x
Então, a expressão fica:
xraiz9x^2 + x + 3x

Passo 4

Vamos simplificar essa fração. Primeiro, fatoramos raiz9x^2 + x = raizx^2(9 + 1x) = xraiz9 + 1x de dentro da raiz:
xxraiz9 + 1x + 3x = 1raiz9 + 1x + 3
Substituindo de volta na expressão, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando raiz9 + 1x approx raiz9 = 3 tende ao infinito. Quando 13 + 3 = 16 fica muito grande, tende a 0. Então, a expressão dentro da raiz se aproxima de 9:
Portanto, a expressão fica aproximadamente:

Resposta

O limite é igual a .

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