Calcule a série de Fourier das funções dadas por no intervalo especificado. Além disso, verifique se a função é par, ímpar ou nada (Escollher dois para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a série de Fourier da função definida no intervalo a . Além disso, vamos verificar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier e as propriedades de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier. Basicamente, é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. Isso é super útil para analisar funções complicadas de uma forma mais simples.
Passo 3
A série de Fourier geral para uma função f(x) = a0 + sumn=1^infty ( an cos(npi xL) + bn sin(npi xL) ) no intervalo a é dada por:
Onde:
é o termo constante.
são os coeficientes dos cossenos.
são os coeficientes dos senos.
Passo 4
Agora, observando o enunciado, já temos os valores de a0 = 0 e an = 0 e :
Isso significa que nossa série de Fourier vai ter apenas os termos dos senos, o que já nos dá uma dica sobre a simetria da função.
Passo 5
Os coeficientes bn = 2(1 - cos(npi2))pi n estão dados por:
Vamos entender de onde isso veio. Como e são zero, a função é ímpar. Isso porque funções ímpares só têm termos de senos na série de Fourier.
Passo 6
Para verificar se a função é par ou ímpar, vamos lembrar:
Função par: . Só tem cossenos na série.
Função ímpar: . Só tem senos na série.
Já que e temos apenas termos de senos, isso confirma que é uma função ímpar.
Passo 7
Vamos resumir a série de Fourier com os valores encontrados:
f(x) = sumn=1^infty 2(1 - cos(npi2))pi n sin(npi xpi)
Simplificando dentro do seno:
f(x) = sumn=1^infty 2(1 - cos(npi2))pi n sin(n x)
Passo 8
Então, nossa série de Fourier final para a função f(x) = sumn=1^infty 2(1 - cos(npi2))pi n sin(n x) é:
Resposta
A série de Fourier da função f(x) = sumn=1^infty 2(1 - cos(npi2))pi n sin(n x) no intervalo a é: