Determine a derivada da função composta a seguir:
Passo 1
Então, a gente tem que achar a derivada da função composta:
Essa função é uma divisão de duas funções que envolvem exponenciais. Para resolver, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divididas umas pelas outras. A gente vai precisar também lembrar como derivar funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão no numerador e no denominador. Vamos chamar:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
A Regra do Quociente diz que a derivada de
é:
Então, precisamos achar as derivadas de
e
.
Passo 4
Vamos derivar
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
(por causa da regra da cadeia). Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula da Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos os produtos:
Primeiro, expandimos os produtos:
Então, o numerador fica:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é: