Determine a derivada da função composta a seguir:

Passo 1

Então, a gente tem que achar a derivada da função composta:
Essa função é uma divisão de duas funções que envolvem exponenciais. Para resolver, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divididas umas pelas outras. A gente vai precisar também lembrar como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão no numerador e no denominador. Vamos chamar:
Agora, nossa função fica:

Passo 3

A Regra do Quociente diz que a derivada de é:
Então, precisamos achar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar :
A derivada de é e a derivada de é (por causa da regra da cadeia). Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos os produtos:
Então, o numerador fica:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule a série de Fourier das funções dadas por no intervalo especificado. Além disso, verifique se a função é par, ímpar ou nada (Escollher dois para entregar).
Determine a derivada da função composta a seguir:
Determine se as funções a seguir são: par, ímpar ou nenhuma (Escolher três para entregar).
Determine a transformada de Laplace das funções a seguir utilizando a tabela. (Escolher três para entregar).