Calcule a série de Fourier das funções dadas por no intervalo especificado. Além disso, verifique se a função é par, ímpar ou nada (Escollher dois para entregar).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a série de Fourier da função definida no intervalo . Além disso, precisamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de séries de Fourier e das propriedades de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função no intervalo é dada por:
onde:
Essas fórmulas nos permitem calcular os coeficientes da série de Fourier.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente :
Como para e para , a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Para resolver esta integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Usando integração por partes novamente, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a :
Portanto:
No entanto, como , ajustamos para incluir no denominador conforme a fórmula fornecida:

Passo 6

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função é:

Passo 7

Agora, vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Função Par:
  • Função Ímpar:
Vamos avaliar:
Para :
Para :
e
Portanto, a função não é nem par nem ímpar.

Resposta

A série de Fourier da função é:
Além disso, a função não é nem par nem ímpar.

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Determine se as funções a seguir são: par, ímpar ou nenhuma (Escolher três para entregar).