Calcule a série de Fourier das funções dadas por
no intervalo especificado. Além disso, verifique se a função é par, ímpar ou nada (Escollher dois para entregar).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a série de Fourier da função
definida no intervalo
. Além disso, precisamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de séries de Fourier e das propriedades de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função
no intervalo
é dada por:
onde:
Essas fórmulas nos permitem calcular os coeficientes da série de Fourier.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
:
Como
para
e
para
, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Para resolver esta integral, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Usando integração por partes novamente, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Portanto:
No entanto, como
, ajustamos para incluir
no denominador conforme a fórmula fornecida:
Passo 6
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função
é:
Passo 7
Agora, vamos verificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Função Par:
- Função Ímpar:
Vamos avaliar:
Para
:
Para
:
e
Portanto, a função
não é nem par nem ímpar.
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Além disso, a função
não é nem par nem ímpar.
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