Determine a derivada da função composta a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! O que a gente tem aqui é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A função dada é . Para resolver isso, vamos usar a **regra da cadeia** e a **regra do quociente**. A regra da cadeia ajuda a derivar funções compostas, e a regra do quociente é útil quando temos uma divisão de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Podemos pensar na função interna como e a função externa como . Assim, .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a **regra da cadeia**, que diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a . Matemáticamente, isso fica:
Passo 4
Vamos calcular . Como , a derivada disso em relação a é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de . Para isso, usamos a **regra do quociente**. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente em :
- então
- então
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora que temos e , vamos multiplicar essas duas derivadas para obter :
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função é:
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