lim x 0 e^2 x-1e^3 x-1

Passo 1

Beleza, temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve entender limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição de limite e a regra de L’Hospital, que é útil quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador: tende a
  • Denominador: tende a
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, temos uma indeterminação do tipo , o que sugere usar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital nos diz que se resulta em ou , então esse limite é igual a , desde que esse segundo limite exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador f'(x) = 2e^2x : g'(x) = 3e^3x
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hospital, o limite original se transforma em:
limx to 0 2e^2x3e^3x

Passo 6

Agora, substituímos 2e^2 times 03e^3 times 0 = 2e^03e^0 = 2 times 13 times 1 = 23 na nova expressão:

Resposta

O limite é .

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