Calcule a série de Fourier das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a série de Fourier da função que é definida de forma diferente em dois intervalos dentro de um período . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Vamos precisar identificar os coeficientes da série ( , e ) e montar a expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função par é composta por cossenos, e para uma função ímpar por senos. Mas como a nossa função não é nem par nem ímpar, vamos considerar a série completa, que tem ambas as componentes: cossenos e senos. A fórmula geral da série de Fourier para uma função de período é:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral:
Calculando as integrais:
Somando:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são relacionados aos cossenos. A fórmula é:
Mais uma vez, dividimos a integral:
Integrando cada parte e utilizando propriedades dos integrais de funções ímpares e pares (note que é uma função par), obtemos que os termos envolvendo senos se anulam e sobra apenas:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que estão ligados aos senos. A fórmula é:
De novo, dividimos a integral:
Após calcular as integrais e simplificar, encontramos que:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

Exercícios relacionados

Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto. .
Integre:
Determine o ponto do paraboloide de equação
que esteja mais próximo do ponto .
Determine o ponto do esfera de equaçāo que esteja mais próximo do ponto .