Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a série de Fourier da função
que é definida de forma diferente em dois intervalos dentro de um período
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Vamos precisar identificar os coeficientes da série (
,
e
) e montar a expressão final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função par é composta por cossenos, e para uma função ímpar por senos. Mas como a nossa função
não é nem par nem ímpar, vamos considerar a série completa, que tem ambas as componentes: cossenos e senos. A fórmula geral da série de Fourier para uma função de período
é:
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral:
Calculando as integrais:
Somando:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são relacionados aos cossenos. A fórmula é:
Mais uma vez, dividimos a integral:
Integrando cada parte e utilizando propriedades dos integrais de funções ímpares e pares (note que
é uma função par), obtemos que os termos envolvendo senos se anulam e sobra apenas:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que estão ligados aos senos. A fórmula é:
De novo, dividimos a integral:
Após calcular as integrais e simplificar, encontramos que:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
Exercícios relacionados
Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto.
.
Integre:
Determine o ponto do paraboloide de equação
que esteja mais próximo do ponto
.
Determine o ponto do esfera de equaçāo
que esteja mais próximo do ponto
.