Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto. .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. Temos um problema de valor inicial (P.V.I) que é uma equação diferencial:
O objetivo é determinar um intervalo onde temos certeza de que existe uma solução para essa equação, sem realmente resolver o problema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, utilizando conceitos de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para um formato mais familiar. Queremos isolar :
Aqui, vemos que a equação está na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Para garantir a existência e unicidade da solução no P.V.I, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se e são contínuos em um intervalo ao redor do ponto inicial , então existe uma única solução nesse intervalo.
Então, precisamos identificar onde e são contínuos.

Passo 4

Vamos analisar :
  • está definido para .
  • é contínuo nesse intervalo.
  • é contínuo onde , ou seja, .
Agora, analisando :
  • está definida quando , ou seja, , onde é inteiro.
  • Também precisamos que , então .

Passo 5

Agora, lembrando que o ponto inicial é , precisamos escolher um intervalo que inclua e onde e sejam contínuos.
  • é maior que 0 e diferente de 1, então .
  • Entre e (aproximadamente 3,14), não temos nenhum múltiplo de , então .

Resposta

Portanto, um intervalo onde temos certeza da existência da solução do P.V.I é .

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Integre:
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(a) sujeito ao vínculo
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que esteja mais próximo do ponto .