Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. Temos um problema de valor inicial (P.V.I) que é uma equação diferencial:
O objetivo é determinar um intervalo onde temos certeza de que existe uma solução para essa equação, sem realmente resolver o problema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, utilizando conceitos de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para um formato mais familiar. Queremos isolar
:
Aqui, vemos que a equação está na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para garantir a existência e unicidade da solução no P.V.I, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se
e
são contínuos em um intervalo ao redor do ponto inicial
, então existe uma única solução nesse intervalo.
Então, precisamos identificar onde
e
são contínuos.
Passo 4
Vamos analisar
:
-
está definido para . -
é contínuo nesse intervalo. -
é contínuo onde , ou seja, .
Agora, analisando
:
-
está definida quando , ou seja, , onde é inteiro. - Também precisamos que
, então .
Passo 5
Agora, lembrando que o ponto inicial é
, precisamos escolher um intervalo que inclua
e onde
e
sejam contínuos.
-
é maior que 0 e diferente de 1, então . - Entre
e (aproximadamente 3,14), não temos nenhum múltiplo de , então .
Resposta
Portanto, um intervalo onde temos certeza da existência da solução do P.V.I é
.
Exercícios relacionados
Integre:
Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(a) sujeito ao vínculo
;
(a)
Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
Determine o ponto do paraboloide de equação
que esteja mais próximo do ponto
.