Determine o ponto do paraboloide de equação
que esteja mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos o ponto no paraboloide definido por
que está mais próximo do ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para isso. Precisaremos entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço e como minimizar essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer
no paraboloide e o ponto
.
Passo 3
Como
está no paraboloide, sabemos que
. Então, podemos expressar a distância entre
e
apenas em função de
e
:
Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância,
, já que o mínimo de
ocorre no mesmo ponto que o mínimo de
. Então:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que minimizam
. Para isso, vamos usar o método de derivadas parciais. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.
Primeiro, vamos calcular
:
Simplificando:
Agora,
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
-
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Como a segunda possibilidade leva a uma soma positiva igual a zero, que não é possível, concluímos que
.
-
:
Como já sabemos que
, a equação simplifica para:
Ou seja:
Passo 6
Vamos resolver a equação
:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Essa é uma equação cúbica. Vamos tentar encontrar uma raiz real. Testando
:
Testando
:
Testando
:
Parece que não temos raízes inteiras simples. Vamos usar o método de aproximação ou fatores para resolver.
Passo 7
Usando métodos numéricos ou gráficos, podemos aproximar a raiz. Observando que para
, a equação dá 11, e para
, dá -16. Então, há uma raiz entre 2 e 3. Vamos tentar
:
Ainda negativa. Tentando
:
Agora positivo. Então, a raiz está entre 2.5 e 2.8. Para simplificar, vamos arredondar e dizer que
.
Passo 8
Com
e
, podemos encontrar
usando a equação do paraboloide:
Resposta
O ponto do paraboloide
que está mais próximo do ponto
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto.
.
Determine o ponto do esfera de equaçāo
que esteja mais próximo do ponto
.
Quais das seguintes leis de formação definem funções afim?