Determine o ponto do paraboloide de equação
que esteja mais próximo do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos o ponto no paraboloide definido por que está mais próximo do ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para isso. Precisaremos entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço e como minimizar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos e , a distância entre eles é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer no paraboloide e o ponto .

Passo 3

Como está no paraboloide, sabemos que . Então, podemos expressar a distância entre e apenas em função de e :
Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância, , já que o mínimo de ocorre no mesmo ponto que o mínimo de . Então:

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de e que minimizam . Para isso, vamos usar o método de derivadas parciais. Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.
Primeiro, vamos calcular :
Simplificando:
Agora, :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
  1. :
Isso nos dá duas possibilidades:
Como a segunda possibilidade leva a uma soma positiva igual a zero, que não é possível, concluímos que .
  1. :
Como já sabemos que , a equação simplifica para:
Ou seja:

Passo 6

Vamos resolver a equação :
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Essa é uma equação cúbica. Vamos tentar encontrar uma raiz real. Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não temos raízes inteiras simples. Vamos usar o método de aproximação ou fatores para resolver.

Passo 7

Usando métodos numéricos ou gráficos, podemos aproximar a raiz. Observando que para , a equação dá 11, e para , dá -16. Então, há uma raiz entre 2 e 3. Vamos tentar :
Ainda negativa. Tentando :
Agora positivo. Então, a raiz está entre 2.5 e 2.8. Para simplificar, vamos arredondar e dizer que .

Passo 8

Com e , podemos encontrar usando a equação do paraboloide:

Resposta

O ponto do paraboloide que está mais próximo do ponto é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto. .
Determine o ponto do esfera de equaçāo que esteja mais próximo do ponto .
Quais das seguintes leis de formação definem funções afim?