Integre: integral x^5 sen(x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^5 sin(x^3) ,dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Olha só, temos x^5 multiplicando sin(x^3). Percebe que o expoente de x na função seno é x^3. Isso sugere que podemos escolher u = x^3 para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
u = x^3 dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 ,dx Rightarrow dx = du3x^2

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u e du. Observe que x^5 = x^3 cdot x^2 = u cdot x^2. Substituindo na integral:
integral x^5 sin(x^3) ,dx = integral u cdot sin(u) cdot du3x^2

Passo 5

Perceba que x^2 no denominador pode ser simplificado, já que u = x^3 implica que x^2 = (ux)^2. Mas para simplificar, vamos notar que ao multiplicar u cdot sin(u) por 13, o x^2 cancela:
integral x^5 sin(x^3) ,dx = 13 integral u sin(u) ,du

Passo 6

Agora, precisamos integrar integral u sin(u) ,du. Aqui, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
v = u dw = sin(u) ,du
Então, derivando e integrando respectivamente:
dv = du w = -cos(u)

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes, que é integral v ,dw = v w - integral w ,dv:
integral u sin(u) ,du = -u cos(u) + integral cos(u) ,du = -u cos(u) + sin(u) + C

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
13 integral u sin(u) ,du = 13 ( -u cos(u) + sin(u) ) + C
E substituindo u = x^3 de volta:
13 ( -x^3 cos(x^3) + sin(x^3) ) + C

Resposta

integral x^5 sin(x^3) ,dx = -x^3 cos(x^3) + sin(x^3) 3 + C

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