Integre:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Olha só, temos multiplicando . Percebe que o expoente de na função seno é . Isso sugere que podemos escolher para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de e . Observe que . Substituindo na integral:

Passo 5

Perceba que no denominador pode ser simplificado, já que implica que . Mas para simplificar, vamos notar que ao multiplicar por , o cancela:

Passo 6

Agora, precisamos integrar . Aqui, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
Então, derivando e integrando respectivamente:

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes, que é :

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
E substituindo de volta:

Resposta

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(a) sujeito ao vínculo
Derive: , onde é uma função derivável.
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