Calcule
e
e
para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito. (Sugestões: por simetria,
; de acordo com a equação de Shrödinger
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos três coisas para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito:
- O desvio padrão de posição,
. - O desvio padrão de momento,
. - O produto desses desvios,
.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica quântica, como expectativas de operadores e a relação entre energia e momento no estado fundamental. Também vamos usar fórmulas matemáticas básicas para calcular desvios padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do desvio padrão para qualquer variável, que nesse caso é a posição
e o momento
:
Aqui,
representa o valor esperado de
, e
é o valor esperado de
ao quadrado.
Passo 3
No caso do estado fundamental do poço quadrado infinito, por simetria, sabemos que o valor esperado do momento é zero:
Isso simplifica nossa vida, porque
, ent��o o desvio padrão do momento vira:
Passo 4
Segundo a dica do enunciado, a expectativa de
está relacionada com a energia
do estado fundamental através da equação de Schrödinger:
Onde
é a massa da partícula. Vamos usar essa relação para encontrar
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a energia
do estado fundamental do poço quadrado infinito. A energia para o estado fundamental é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck reduzida. -
é o comprimento do poço.
Com isso, podemos calcular
.
Passo 6
Substituindo a expressão de
na fórmula de
:
Agora, podemos encontrar
:
Passo 7
Vamos agora calcular
. Para isso, precisamos encontrar
e
.
No estado fundamental do poço simétrico, por simetria, o valor esperado da posição é:
Para
, a expressão é:
Passo 8
Com esses valores, podemos calcular
:
Passo 9
Agora, temos
e
, podemos calcular o produto desses desvios:
Resposta
Portanto, para o estado fundamental do poço quadrado infinito, temos:
Exercícios relacionados
Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite da Equação anterior é
. Determine (a) a constante de normalização
;
Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite
da Equação
é
. Determine (a) a constante de normalização
Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite
da Equação
é
. Determine ©
para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)
Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite da Equação anterior é
. Determine (d)
para este estado.