Calcule sigmax=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 e sigmax=raizlang<= p^2rang<=-lang<= prang<=^2 e sigmax sigmap para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito. (Sugestões: por simetria, lang<= prang<==0; de acordo com a equação de Shrödinger lang<= p^2rang<==raiz2 m E).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos três coisas para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito:
  1. O desvio padrão de posição, .
  2. O desvio padrão de momento, .
  3. O produto desses desvios, .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica quântica, como expectativas de operadores e a relação entre energia e momento no estado fundamental. Também vamos usar fórmulas matemáticas básicas para calcular desvios padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do desvio padrão para qualquer variável, que nesse caso é a posição sigmaA = raizlang<= A^2 rang<= - lang<= A rang<=^2 e o momento :
Aqui, representa o valor esperado de , e é o valor esperado de ao quadrado.

Passo 3

No caso do estado fundamental do poço quadrado infinito, por simetria, sabemos que o valor esperado do momento é zero:
lang<= p rang<= = 0
Isso simplifica nossa vida, porque sigmap = raizlang<= p^2 rang<= , ent��o o desvio padrão do momento vira:

Passo 4

Segundo a dica do enunciado, a expectativa de lang<= p^2 rang<= = 2 m E está relacionada com a energia do estado fundamental através da equação de Schrödinger:
Onde é a massa da partícula. Vamos usar essa relação para encontrar .

Passo 5

Agora, precisamos determinar a energia E = pi^2 hbar^22 m L^2 do estado fundamental do poço quadrado infinito. A energia para o estado fundamental é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida.
  • é o comprimento do poço.
Com isso, podemos calcular .

Passo 6

Substituindo a expressão de lang<= p^2 rang<= = 2 m ( pi^2 hbar^22 m L^2 ) = pi^2 hbar^2L^2 na fórmula de sigmap = raizlang<= p^2 rang<= = pi hbarL :
Agora, podemos encontrar :

Passo 7

Vamos agora calcular lang<= x rang<= = L2 . Para isso, precisamos encontrar lang<= x^2 rang<= = L^23 e .
No estado fundamental do poço simétrico, por simetria, o valor esperado da posição é:
Para , a expressão é:

Passo 8

Com esses valores, podemos calcular sigmax = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2 = raizL^23 - ( L2 )^2 = raizL^23 - L^24 = raizL^212 = L2 raiz3 :

Passo 9

Agora, temos sigmax sigmap = ( L2 raiz3 ) ( pi hbarL ) = pi hbar2 raiz3 e , podemos calcular o produto desses desvios:

Resposta

Portanto, para o estado fundamental do poço quadrado infinito, temos:
sigmax = L2 raiz3, sigmap = pi hbarL, e sigmax sigmap = pi hbar2 raiz3

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