Calcule e e para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito. (Sugestões: por simetria, ; de acordo com a equação de Shrödinger .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos três coisas para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito:
  1. O desvio padrão de posição, .
  2. O desvio padrão de momento, .
  3. O produto desses desvios, .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica quântica, como expectativas de operadores e a relação entre energia e momento no estado fundamental. Também vamos usar fórmulas matemáticas básicas para calcular desvios padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do desvio padrão para qualquer variável, que nesse caso é a posição e o momento :
Aqui, representa o valor esperado de , e é o valor esperado de ao quadrado.

Passo 3

No caso do estado fundamental do poço quadrado infinito, por simetria, sabemos que o valor esperado do momento é zero:
Isso simplifica nossa vida, porque , ent��o o desvio padrão do momento vira:

Passo 4

Segundo a dica do enunciado, a expectativa de está relacionada com a energia do estado fundamental através da equação de Schrödinger:
Onde é a massa da partícula. Vamos usar essa relação para encontrar .

Passo 5

Agora, precisamos determinar a energia do estado fundamental do poço quadrado infinito. A energia para o estado fundamental é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida.
  • é o comprimento do poço.
Com isso, podemos calcular .

Passo 6

Substituindo a expressão de na fórmula de :
Agora, podemos encontrar :

Passo 7

Vamos agora calcular . Para isso, precisamos encontrar e .
No estado fundamental do poço simétrico, por simetria, o valor esperado da posição é:
Para , a expressão é:

Passo 8

Com esses valores, podemos calcular :

Passo 9

Agora, temos e , podemos calcular o produto desses desvios:

Resposta

Portanto, para o estado fundamental do poço quadrado infinito, temos:

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Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação anterior é . Determine (a) a constante de normalização ;
Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine (a) a constante de normalização
Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine © para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)
Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação anterior é . Determine (d) para este estado.