Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite da Equação anterior é
. Determine (a) a constante de normalização
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples, ou seja, quando
. O polinômio de Hermite correspondente é
. Nosso objetivo aqui é determinar a constante de normalização
. Para isso, vamos precisar lembrar como normalizar a função de onda do oscilador harmônico e usar as propriedades dos polinômios de Hermite.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão geral da função de onda para o estado
do oscilador harmônico. A função de onda
é dada por:
onde:
-
é a constante de normalização que queremos encontrar, -
é o polinômio de Hermite de ordem , -
é uma variável adimensional.
Para
, temos:
Passo 3
Agora, para normalizar a função de onda, precisamos garantir que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos mudar a variável de integração de
para
. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Fatorando os termos constantes:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Essa é uma integral conhecida e vale
:
Agora, isolamos
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Simplificando:
Resposta
A constante de normalização
é: