Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples (n=1), o polinômio de Hermite da Equação anterior é H1(xi)=xi. Determine (a) a constante de normalização C1;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples, ou seja, quando . O polinômio de Hermite correspondente é . Nosso objetivo aqui é determinar a constante de normalização . Para isso, vamos precisar lembrar como normalizar a função de onda do oscilador harmônico e usar as propriedades dos polinômios de Hermite.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão geral da função de onda para o estado psin(x) = Cn Hn(xi) e^-xi^2/2 do oscilador harmônico. A função de onda psi1(x) = C1 xi e^-xi^2/2 é dada por:
onde:
  • é a constante de normalização que queremos encontrar,
  • é o polinômio de Hermite de ordem ,
  • é uma variável adimensional.
Para , temos:

Passo 3

Agora, para normalizar a função de onda, precisamos garantir que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
integral-infty^+infty |psi1(x)|^2 dx = 1
Substituindo integral-infty^+infty C1^2 xi^2 e^-xi^2 dx = 1 :

Passo 4

Vamos mudar a variável de integração de dxi = raizmomegahbar dx Rightarrow dx = raizhbarmomega dxi para C1^2 integral-infty^+infty xi^2 e^-xi^2 raizhbarmomega dxi = 1 . Sabemos que:
C1^2 raizhbarmomega integral-infty^+infty xi^2 e^-xi^2 dxi = 1
Substituindo na integral:
Fatorando os termos constantes:

Passo 5

Vamos resolver a integral C1^2 raizhbarmomega cdot raizpi2 = 1 . Essa é uma integral conhecida e vale C1^2 = 2raizpi raizmomegahbar :
C1 = raiz2raizpi ( momegahbar )^1/4
Agora, isolamos C1 = ( momegapihbar )^1/4 :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Simplificando:

Resposta

A constante de normalização C1 = ( momegapihbar )^1/4 é:

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