Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação anterior é . Determine (a) a constante de normalização ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples, ou seja, quando . O polinômio de Hermite correspondente é . Nosso objetivo aqui é determinar a constante de normalização . Para isso, vamos precisar lembrar como normalizar a função de onda do oscilador harmônico e usar as propriedades dos polinômios de Hermite.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão geral da função de onda para o estado do oscilador harmônico. A função de onda é dada por:
onde:
  • é a constante de normalização que queremos encontrar,
  • é o polinômio de Hermite de ordem ,
  • é uma variável adimensional.
Para , temos:

Passo 3

Agora, para normalizar a função de onda, precisamos garantir que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo :

Passo 4

Vamos mudar a variável de integração de para . Sabemos que:
Substituindo na integral:
Fatorando os termos constantes:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Essa é uma integral conhecida e vale :
Agora, isolamos :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Simplificando:

Resposta

A constante de normalização é:

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Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine (a) a constante de normalização
Use a lei de Planck para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é proporcional , o que está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
Em outras palavras, mostre que
Onde é uma constante. Dica: utilize o resultado da integral imprópria:
Calcule e e para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito. (Sugestões: por simetria, ; de acordo com a equação de Shrödinger .
Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine © para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)