Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação anterior é . Determine (d) para este estado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com o oscilador harmônico quântico, especificamente no primeiro estado excitado (n=1). A questão pede para determinar o valor esperado da energia potencial, ⟨V(x)⟩, nesse estado. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular valores esperados usando as funções de onda dos estados do oscilador harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial do oscilador harmônico é dada por:
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a frequência angular,
  • é a posição.

Passo 3

O valor esperado de no estado é calculado pela integral:
Onde é a função de onda do estado , e é seu complexo conjugado.

Passo 4

No caso do oscilador harmônico, os valores esperados da energia potencial e da energia cinética são iguais em cada estado. Além disso, a energia total é:
Onde é a constante de Planck reduzida e é o número quântico.

Passo 5

Como a energia total é a soma da energia cinética e potencial, e elas são iguais, temos:

Passo 6

Substituindo na equação acima:

Passo 7

Para o primeiro estado excitado, , então:

Resposta

O valor esperado da energia potencial para o primeiro estado excitado é:

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Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine © para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)
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