Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples (n=1), o polinômio de Hermite da Equação anterior é H1(xi)=xi. Determine (d) lang<= V(x)rang<= para este estado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com o oscilador harmônico quântico, especificamente no primeiro estado excitado (n=1). A questão pede para determinar o valor esperado da energia potencial, ⟨V(x)⟩, nesse estado. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular valores esperados usando as funções de onda dos estados do oscilador harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial do oscilador harmônico é dada por:
V(x) = 12 m omega^2 x^2
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a frequência angular,
  • é a posição.

Passo 3

O valor esperado de lang<= V(x) rang<= = integral-infty^infty psin^*(x) V(x) psin(x) , dx no estado é calculado pela integral:
Onde é a função de onda do estado , e é seu complexo conjugado.

Passo 4

No caso do oscilador harmônico, os valores esperados da energia potencial e da energia cinética são iguais em cada estado. Além disso, a energia total é:
En = (n + 12) hbar omega
Onde é a constante de Planck reduzida e é o número quântico.

Passo 5

Como a energia total é a soma da energia cinética e potencial, e elas são iguais, temos:
lang<= V(x) rang<= = En2

Passo 6

Substituindo lang<= V(x) rang<= = 12 (n + 12) hbar omega na equação acima:

Passo 7

Para o primeiro estado excitado, lang<= V(x) rang<= = 12 (1 + 12) hbar omega = 34 hbar omega , então:

Resposta

O valor esperado da energia potencial para o primeiro estado excitado é:
lang<= V(x) rang<= = 34 hbar omega

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