Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite da Equação anterior é
. Determine (d)
para este estado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com o oscilador harmônico quântico, especificamente no primeiro estado excitado (n=1). A questão pede para determinar o valor esperado da energia potencial, ⟨V(x)⟩, nesse estado. Para isso, a gente vai precisar entender como calcular valores esperados usando as funções de onda dos estados do oscilador harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial do oscilador harmônico é dada por:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a frequência angular, -
é a posição.
Passo 3
O valor esperado de
no estado
é calculado pela integral:
Onde
é a função de onda do estado
, e
é seu complexo conjugado.
Passo 4
No caso do oscilador harmônico, os valores esperados da energia potencial e da energia cinética são iguais em cada estado. Além disso, a energia total é:
Onde
é a constante de Planck reduzida e
é o número quântico.
Passo 5
Como a energia total é a soma da energia cinética e potencial, e elas são iguais, temos:
Passo 6
Substituindo
na equação acima:
Passo 7
Para o primeiro estado excitado,
, então:
Resposta
O valor esperado da energia potencial para o primeiro estado excitado é: