Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite
da Equação
é
. Determine ©
para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a expectativa do potencial, ou seja,
, para o estado fundamental (
) do oscilador harmônico simples. Vamos precisar entender a função de onda desse estado e como calcular essa expectativa usando integrais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a energia potencial do oscilador harmônico é dada por:
Nossa missão é encontrar o valor esperado dessa energia no estado fundamental.
Passo 3
A expectativa
é calculada pela integral:
Como estamos no estado fundamental, a função de onda
é real, então
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral:
Passo 5
A função de onda para
é dada por:
Onde
é a constante de normalização que garante que
.
Passo 6
Vamos substituir
na integral:
Para facilitar, mudamos a variável de integração para
:
Passo 7
Substituindo na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Sabemos que a integral
. No nosso caso,
, então:
Passo 9
Agora, precisamos determinar
. A condição de normalização é:
Usando a mesma integral que calculamos:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A expectativa do potencial para o estado fundamental é:
Exercícios relacionados
Calcule
e
e
para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito. (Sugestões: por simetria,
; de acordo com a equação de Shrödinger
.
Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite da Equação anterior é
. Determine (a) a constante de normalização
;
Para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite da Equação anterior é
. Determine (d)
para este estado.
A temperatura da pele é de aproximadamente
. Qual é o comprimento de onda em que ocorre o pico da radiação emitida pela pele?