Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples (n=0), o polinômio de Hermite Hn(x) da Equação
psin(x)=Cn Hn(xi) exp (-xi^2), xi=raizm omegahbar x
é H0(x)=1. Determine © lang<= V(x)rang<= para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a expectativa do potencial, ou seja, , para o estado fundamental ( ) do oscilador harmônico simples. Vamos precisar entender a função de onda desse estado e como calcular essa expectativa usando integrais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia potencial do oscilador harmônico é dada por:
V(x) = 12 m omega^2 x^2
Nossa missão é encontrar o valor esperado dessa energia no estado fundamental.

Passo 3

A expectativa lang<= V(x) rang<= = integral-infty^infty psi0^*(x) V(x) psi0(x) , dx é calculada pela integral:
Como estamos no estado fundamental, a função de onda é real, então .

Passo 4

Vamos substituir lang<= V(x) rang<= = integral-infty^infty psi0(x) (12 m omega^2 x^2) psi0(x) , dx = 12 m omega^2 integral-infty^infty x^2 psi0^2(x) , dx e na integral:

Passo 5

A função de onda para psi0(x) = C0 e^-xi^2, xi = raizm omegahbar x é dada por:
Onde é a constante de normalização que garante que .

Passo 6

Vamos substituir lang<= V(x) rang<= = 12 m omega^2 integral-infty^infty x^2 C0^2 e^-2xi^2 , dx na integral:
x = xiraizm omegahbar, dx = raizhbarm omega dxi
Para facilitar, mudamos a variável de integração para :

Passo 7

Substituindo na integral:
lang<= V(x) rang<= = 12 m omega^2 C0^2 (hbarm omega)^3/2 integral-infty^infty xi^2 e^-2xi^2 dxi
Simplificando os coeficientes:
lang<= V(x) rang<= = 12 hbar omega C0^2 integral-infty^infty xi^2 e^-2xi^2 dxi

Passo 8

Sabemos que a integral integral-infty^infty xi^2 e^-2xi^2 dxi = raizpi2 cdot (2)^3/2 = raizpi4 raiz2 . No nosso caso, , então:

Passo 9

Agora, precisamos determinar integral-infty^infty psi0^2(x) dx = 1 Rightarrow C0^2 integral-infty^infty e^-2xi^2 hbarm omega dxi = 1 . A condição de normalização é:
C0^2 hbarm omega cdot raizpi2 raiz2 = 1 Rightarrow C0^2 = 2 raiz2 m omegahbar raizpi
Usando a mesma integral que calculamos:

Passo 10

Substituindo lang<= V(x) rang<= = 12 hbar omega cdot 2 raiz2 m omegahbar raizpi cdot raizpi4 raiz2 = 14 hbar omega na expressão de :

Resposta

A expectativa do potencial para o estado fundamental é:
lang<= V(x) rang<= = 14 hbar omega

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