Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples , o polinômio de Hermite da Equação
é . Determine © para esse estado. (Sugestão: As integrais necessárias para resolver o problema estão na Tabela B1-1 do Apêndice B1.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a expectativa do potencial, ou seja, , para o estado fundamental ( ) do oscilador harmônico simples. Vamos precisar entender a função de onda desse estado e como calcular essa expectativa usando integrais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia potencial do oscilador harmônico é dada por:
Nossa missão é encontrar o valor esperado dessa energia no estado fundamental.

Passo 3

A expectativa é calculada pela integral:
Como estamos no estado fundamental, a função de onda é real, então .

Passo 4

Vamos substituir e na integral:

Passo 5

A função de onda para é dada por:
Onde é a constante de normalização que garante que .

Passo 6

Vamos substituir na integral:
Para facilitar, mudamos a variável de integração para :

Passo 7

Substituindo na integral:
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Sabemos que a integral . No nosso caso, , então:

Passo 9

Agora, precisamos determinar . A condição de normalização é:
Usando a mesma integral que calculamos:

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A expectativa do potencial para o estado fundamental é:

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