Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples
, o polinômio de Hermite
da Equação
é
. Determine (a) a constante de normalização
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a constante de normalização
para o estado fundamental (
) do oscilador harmônico simples. Isso envolve o uso das funções de onda do oscilador harmônico e do conceito de normalização em mecânica quântica, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Vamos precisar usar a integral da função de onda ao quadrado e ajustar
para que essa condição seja satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de onda para o estado fundamental (
):
Sabemos que
, então simplificando:
onde
.
Passo 3
Agora, para normalizar a função de onda, precisamos que a integral do módulo ao quadrado de
sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos mudar a variável de integração de
para
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que a integral de
de
a
é
. Aqui,
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Para encontrar
, resolvemos para ele:
Simplificando:
Resposta
A constante de normalização é: