Para o estado fundamental do oscilador harmônico simples (n=0), o polinômio de Hermite Hn(x) da Equação
psin(x)=Cn Hn(xi) exp (-xi^2), xi=raizm omegahbar x
é H0(x)=1. Determine (a) a constante de normalização C0 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a constante de normalização para o estado fundamental ( ) do oscilador harmônico simples. Isso envolve o uso das funções de onda do oscilador harmônico e do conceito de normalização em mecânica quântica, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Vamos precisar usar a integral da função de onda ao quadrado e ajustar para que essa condição seja satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda para o estado fundamental ( psi0(x) = C0 H0(xi) e^-xi^2 ):
psi0(x) = C0 e^-xi^2
Sabemos que , então simplificando:
onde .

Passo 3

Agora, para normalizar a função de onda, precisamos que a integral do módulo ao quadrado de integral-infty^infty |psi0(x)|^2 dx = 1 sobre todo o espaço seja igual a 1:
integral-infty^infty C0^2 e^-2xi^2 dx = 1
Substituindo :

Passo 4

Vamos mudar a variável de integração de dx = raizhbarm omega dxi para C0^2 raizhbarm omega integral-infty^infty e^-2xi^2 dxi = 1 :
Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que a integral de integral-infty^infty e^-2xi^2 dxi = raizpi2 de a é . Aqui, , então:

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
C0^2 raizhbarm omega raizpi2 = 1
Para encontrar C0 = ( raizm omegahbar pi times raiz2 )^1/2 , resolvemos para ele:
C0 = ( m omegahbar pi )^1/4
Simplificando:

Resposta

A constante de normalização é:
C0 = ( m omegahbar pi )^1/4

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