Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que não é linear por causa do termo
. Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que é uma técnica útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
O método das Bernoulli envolve uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear, facilitando a resolução.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Agora, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
:
Agora, vamos reescrever a equação original usando essa substituição.
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão para
:
Mas
, então a equação fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de
.
Passo 5
Vamos resolver a equação linear
. Para isso, precisamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
para isolar
:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Finalmente, resolvendo para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Seja
. Qual o domínio da função
?
Seja
. Calcule
.
Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
Calcule a solução geral das seguintes equações lineares: