Calcule a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que não é linear por causa do termo . Para resolver isso, vamos usar o método das equações de Bernoulli, que é uma técnica útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
O método das Bernoulli envolve uma substituição que transforma a equação não linear em uma equação linear, facilitando a resolução.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :
Agora, vamos reescrever a equação original usando essa substituição.

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão para :
Mas , então a equação fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de .

Passo 5

Vamos resolver a equação linear . Para isso, precisamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por para isolar :
Lembrando que , temos:

Passo 7

Finalmente, resolvendo para :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral é , onde é uma constante real.

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