Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de séries de potências e integrais. Precisaremos lembrar como representar uma função como uma série infinita e de como integrar séries termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
é
. Isso é importante porque queremos expressar
como uma série de potências, e para isso vamos integrar a derivada.
Passo 3
Agora, observamos que
pode ser reescrita de uma forma que nos permita usar a série geométrica. Sabemos que
para
. Se ajustarmos nossa expressão para se parecer com isso:
Agora, podemos aplicar a série geométrica com
:
Passo 4
Com a série para
em mãos, podemos integrar termo a termo para encontrar
. Sabemos que:
Integrando a série:
Passo 5
Agora, integramos cada termo individualmente:
Como estamos procurando a série de potências centrada em 0 e considerando que
, a constante de integração
é zero.
Passo 6
Substituindo de volta na série, temos:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
Exercícios relacionados
Calcule a solução geral das seguintes equações:
Seja
. Qual o domínio da função
?
Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):