Obtenha uma representação em série de potências para as funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de séries de potências e integrais. Precisaremos lembrar como representar uma função como uma série infinita e de como integrar séries termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de é . Isso é importante porque queremos expressar como uma série de potências, e para isso vamos integrar a derivada.

Passo 3

Agora, observamos que pode ser reescrita de uma forma que nos permita usar a série geométrica. Sabemos que para . Se ajustarmos nossa expressão para se parecer com isso:
Agora, podemos aplicar a série geométrica com :

Passo 4

Com a série para em mãos, podemos integrar termo a termo para encontrar . Sabemos que:
Integrando a série:

Passo 5

Agora, integramos cada termo individualmente:
Como estamos procurando a série de potências centrada em 0 e considerando que , a constante de integração é zero.

Passo 6

Substituindo de volta na série, temos:

Resposta

A representação em série de potências para é:

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Calcule a solução geral das seguintes equações:
Seja . Qual o domínio da função ?
Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):