Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear:
. A matéria envolvida aqui é a das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação no formato padrão e usar um fator integrante.
Passo 2
Vamos começar colocando a equação na forma padrão das equações lineares. Isso significa isolar
. Dividindo toda a equação por
(considerando que
) temos:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
A primeira integral,
, é conhecida como a integral de Cosint e não possui uma expressão em termos de funções elementares. A segunda integral pode ser resolvida por partes. Vamos focar na segunda integral usando integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Portanto, substituindo de volta na equação:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
Calcule a solução geral das seguintes equações:
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Seja
. Qual o domínio da função
?