Calcule a solução geral das seguintes equações lineares: t y' - y = t cos(t) - sen(t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear: . A matéria envolvida aqui é a das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação no formato padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Vamos começar colocando a equação na forma padrão das equações lineares. Isso significa isolar . Dividindo toda a equação por (considerando que ) temos:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
A primeira integral, , é conhecida como a integral de Cosint e não possui uma expressão em termos de funções elementares. A segunda integral pode ser resolvida por partes. Vamos focar na segunda integral usando integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Portanto, substituindo de volta na equação:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por , obtemos a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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