Seja f(x)=sumn=1^+infty (-1)^n+1n 5^n x^n. Qual o domínio da função f ? D(f)=(-5,5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série infinita:
f(x) = sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n x^n
O que a questão está pedindo é para encontrarmos o domínio dessa função, ou seja, os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura geral da série:
sumn=1^+infty an x^n
No nosso caso, L = limn to +infty | an+1 x^n+1an x^n | . Para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
Isso simplifica para:
L = limn to +infty | an+1an | cdot |x|

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^(n+1)+1(n+1) cdot 5^n+1 (-1)^n+1n cdot 5^n = (-1)^n+2(n+1) cdot 5^n+1 cdot n cdot 5^n(-1)^n+1 :
Simplificando os sinais e potências:
an+1an = nn+1 cdot 15

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to +infty | nn+1 cdot 15 | cdot |x| = limn to +infty nn+1 cdot 15 cdot |x| :
L = 15 |x|
Como , temos:

Passo 5

Para que a série convirja, segundo o Teste da Razão, precisamos que 15 |x| < 1 :
|x| < 5
Multiplicando ambos os lados por 5:
Isso significa que a série converge quando está no intervalo aberto .

Passo 6

Agora, precisamos verificar os limites do intervalo, ou seja, quando sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot 5^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1n e sumn=1^+infty (-1)^n+1n cdot 5^n cdot (-5)^n = sumn=1^+infty (-1)^n+1 cdot (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n .
  1. Para :
    A série se torna:
    Essa é a série alternada harmônica, que é convergente.
  2. Para :
    A série se torna:
    Essa é a série harmônica, que é divergente.

Resposta

Portanto, o domínio da função D(f) = (-5, 5] é:

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