Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série infinita:
O que a questão está pedindo é para encontrarmos o domínio dessa função, ou seja, os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura geral da série:
No nosso caso, . Para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
Isso simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando os sinais e potências:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite :
Como , temos:
Passo 5
Para que a série convirja, segundo o Teste da Razão, precisamos que :
Multiplicando ambos os lados por 5:
Isso significa que a série converge quando está no intervalo aberto .
Passo 6
Agora, precisamos verificar os limites do intervalo, ou seja, quando e .
Para :
A série se torna:
Essa é a série alternada harmônica, que é convergente.