Seja . Qual o domínio da função ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma série infinita:
O que a questão está pedindo é para encontrarmos o domínio dessa função, ou seja, os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura geral da série:
No nosso caso, . Para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
Isso simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando os sinais e potências:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite :
Como , temos:

Passo 5

Para que a série convirja, segundo o Teste da Razão, precisamos que :
Multiplicando ambos os lados por 5:
Isso significa que a série converge quando está no intervalo aberto .

Passo 6

Agora, precisamos verificar os limites do intervalo, ou seja, quando e .
  1. Para :
    A série se torna:
    Essa é a série alternada harmônica, que é convergente.
  2. Para :
    A série se torna:
    Essa é a série harmônica, que é divergente.

Resposta

Portanto, o domínio da função é:

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Seja . Calcule .
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Calcule a solução geral das seguintes equações:
Obtenha uma representação em série de potências para as funções: