Seja f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n(x-2)^n. Calcule f(32).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente calcule , onde é uma série infinita. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, e vamos precisar usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão de f(x) = sumn=0^+infty (-1)^n (x - 2)^n :
Isso é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .

Passo 3

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^+infty ar^n = a1 - r
desde que . No nosso caso, o primeiro termo (quando ) e a razão .

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma, temos:
f(x) = 11 - (- (x - 2)) = 11 + (x - 2) = 13 - x
Agora, vamos substituir f(32) = 13 - 32 = 132 = 23 por :

Resposta

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